高考数学(理数)一轮复习学案9．9《直线与圆锥曲线的位置关系》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案9．9《直线与圆锥曲线的位置关系》(含详解)，共12页。
9．9　直线与圆锥曲线的位置关系



1．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度来看有三种：相离时，直线与圆锥曲线______公共点；相切时，直线与圆锥曲线有______公共点；相交时，直线与椭圆有______公共点，直线与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．一般通过它们的方程来研究：
设直线l：Ax＋By＋C＝0与二次曲线C：f(x，y)＝0，
由消元，如果消去y后得：ax2＋bx＋c＝0，
(1)当a≠0时，
①Δ＞0，则方程有两个不同的解，直线与圆锥曲线有两个公共点，直线与圆锥曲线________；
②Δ＝0，则方程有两个相同的解，直线与圆锥曲线有一个公共点，直线与圆锥曲线________；
③Δ＜0，则方程无解，直线与圆锥曲线没有公共点，直线与圆锥曲线________．
(2)注意消元后非二次的情况，即当a＝0时，对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线．
当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线的位置关系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________．
(3)直线方程涉及斜率k要考虑其不存在的情形．
2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题
(1)直线l：y＝kx＋m与二次曲线C：f(x，y)＝0交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则x1＋x2＝________，x1x2＝________，＝________________________________．
(2)若弦过焦点，可得焦点弦，可用焦半径公式来表示弦长，以简化运算．
3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题
中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．
(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．
无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论．

自查自纠：
1．无　一个　两个　(1)①相交　②相切　③相离
(2)平行或重合　平行或重合
2．(1)－　　
＝



直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是 (　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解：由于直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．故选A．
若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是 (　　)
A．(0，) B．(－，0)
C．(－，) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
解：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，由数形结合，得k∈(－，)．故选C．
抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A，B两点，若P(1，1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝4x B．y2＝2x
C．x2＝2y D．y2＝－2x
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为 y2＝2px，则两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x．故选B．
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为____________．
解：由题意得解得
所以椭圆C的方程为＋＝1．故填＋＝1．
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(1，2)，则该渐近线与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4相交所得的弦长为________．
解：因为bx－ay＝0过点(1，2)，故b－2a＝0，渐近线方程为2x－y＝0，圆心到该直线的距离d＝，故弦长为2＝．故填．


类型一　弦的中点问题
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为M(1，1)，则直线AB的方程为___________________________．
解法一：根据题意，易知直线AB的斜率存在，设通过点M(1，1)的直线AB的方程为y＝k(x－1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k2＋4)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0．
设A，B的横坐标分别为x1，x2，
则＝－＝1，解之得k＝－．
故直线AB的方程为y＝－(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0．
解法二：设A(x1，y1)．
因为AB中点为M(1，1)，所以B点坐标是(2－x1，2－y1)．
将A，B点的坐标代入方程4x2＋9y2＝36，得
4x＋9y－36＝0，①
及4(2－x1)2＋9(2－y1)2＝36，
化简为4x＋9y－16x1－36y1＋16＝0．②
①－②，得16x1＋36y1－52＝0，化简为4x1＋9y1－13＝0．
同理可推出4(2－x1)＋9(2－y1)－13＝0．
因为A(x1，y1)与B(2－x1，2－y1)都满足方程4x＋9y－13＝0，
所以4x＋9y－13＝0即为所求．
解法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是弦的两个端点，代入椭圆方程，得
①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0．
因为M(1，1)为弦的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2．
所以4(x1－x2)＋9(y1－y2)＝0．所以kAB＝＝－．
故AB方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0．
故填4x＋9y－13＝0．
(2)已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．
解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则
由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)，
显然x1≠x2．所以·＝3，即kMN·＝3，
因为M，N关于直线y＝x＋m对称，所以kMN＝－1，
所以y0＝－3x0．又因为y0＝x0＋m，所以P(－，)，
代入抛物线方程得m2＝18·(－)，
解得m＝0或－8，经检验都符合．
故填0或－8．

点　拨：
处理中点弦问题常用的求解方法：①点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．②根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
　　
　设抛物线过定点A(－1，0)，且以直线x＝1为准线．
(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；
(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求实数m的取值范围．
解：(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x－1，y)．
再根据抛物线的定义得|AF|＝2，即(2x)2＋y2＝4，
所以轨迹C的方程为x2＋＝1(x≠1)．
(2)依题意知k≠0，设弦MN的中点为P(－，y0)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知
两式相减，得
4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，
将xM＋xN＝2×(－)＝－1，yM＋yN＝2y0，
＝－(k≠0)代入上式得k＝－．
又点P(－，y0)在弦MN的垂直平分线上，

所以y0＝－k＋m．
所以m＝y0＋k＝y0．
由点P(－，y0)在线段BB′上(B′，B为直线x＝－与椭圆的交点，如图所示)，所以yB′＜y0＜yB，即－＜y0＜．
所以－＜m＜，又k≠0，则y0＝ －2k≠0，从而有m≠0．
故m的取值范围为(－，0)∪(0，)．
类型二　定点问题
　()设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
解：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，
＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝，得x0＝x，y0＝y．
因为M(x0，y0)在C上，所以＋y＝1，所以 ＋＝1．
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2．
(2)证明：易知F(－1，0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则
＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1．
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0．
所以·＝0，即⊥．又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

点　拨：
①根据已知条件建立方程；②通过假设相关点的坐标，利用函数与方程思想及点的坐标关系，按照“设而不求”的原则计算或化简．
　　
　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．
解：(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．
(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，
设A(，t)，B(，－t)，t＞0．
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，化简得t2＝32，则t＝4，
所以A(8，4)，B(8，－4)，此时直线AB的方程为x＝8．
②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立化简得ky2－4y＋4b＝0，根据根与系数的关系得yAyB＝．
因为直线OA，OB的斜率之积为－，
所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0，
即·＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32，
所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，
即y＝k(x－8)．
综上所述，直线AB过x轴上一定点(8，0)．

类型三　定值问题
　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点T(，－)，且半焦距c＝．
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，已知D，A(2，1)，过点B(3，0)的直线l与椭圆相交于P，Q两点，直线AP，AQ与x轴分别相交于M，N两点，试问|DM|·|DN|是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
解：(1)方法一：设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(－，0)，F2(，0)，
由椭圆的定义可得2a＝＋＝2，解得a＝，
所以b2＝a2－c2＝6－3＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
方法二：因为c＝，所以a2－b2＝3，
又椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点T，
所以＋＝1，故＋＝1，化简得2b4－3b2－9＝0，得b2＝3，所以a2＝6，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)设直线l的方程为x＝my＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
当直线AP的斜率不存在时，易知直线BP与椭圆C相切，不符合题意，同理可得直线AQ的斜率存在，故直线AP的方程为y－1＝(x－2)，
则M，即M，
同理N．
由得(2＋m2)y2＋6my＋3＝0，
由Δ＝36m2－12(2＋m2)＞0得m2＞1，
又y1＋y2＝－，y1y2＝，
所以|DM|·|DN|
＝
＝
＝
＝
＝＝，
故|DM|·|DN|为定值，且|DM|·|DN|＝．

点　拨：
求解此类问题的方法一般有两种：①从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；②直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线．应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算．
　　
　()已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|·|BM|为定值．
解：(1)由题意得
解得a＝2，b＝1．
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)证明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1)，
设P(x0，y0)，则x＋4y＝4．
当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝|1－yM|＝．
直线PB的方程为y＝x＋1．
令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝|2－xN|＝．
所以|AN|·|BM|＝·
＝
＝＝4．
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4．
综上，|AN|·|BM|为定值．
类型四　与弦有关的范围与最值问题
　已知椭圆C1：＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作垂直于x轴的直线l1，直线l2与l1垂直，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M．
(1)求点M的轨迹C2的方程；
(2)过点F2作两条互相垂直的直线AC、BD，且分别交椭圆于A、B、C、D四点，求四边形ABCD面积的最小值．
解：(1)连接MF2，由题意知|MP|＝|MF2|，所以点M到定直线l1：x＝－2的距离等于它到定点F2(2，0)的距离，所以点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，
所以点M的轨迹C2的方程为y2＝8x．
(2)当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A(x1，y1)，C(x2，y2)，则直线BD的斜率为－，直线AC的方程为y＝k(x－2)，
联立
得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－8＝0．
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
|AC|＝·＝．
同理可得|BD|＝．
因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S＝ |AC|·|BD|＝．
由于(k2＋2)(2k2＋1)≤[]2＝[]2，所以S≥，当且仅当k2＋2＝2k2＋1，即k＝±1时，取等号．
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S＝8．
综上知，四边形ABCD面积的最小值为．

点　拨：
圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．解决圆锥曲线中的取值范围问题常从五方面考虑：①利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；③利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；⑤利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

　已知椭圆C：x2＋2y2＝4．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．
因此a＝2，c＝．
故椭圆C的离心率e＝＝．
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0．
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－．
又x＋2y＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4
＝x＋＋＋4＝＋＋4(0b>0)，
故有　所以a＝2，b＝2．
则所求的椭圆方程是＋＝1．
(2)由(1)得到椭圆的左、右焦点分别是F1(－2，0)，F2(2，0)，
|F2C|＝＝