高考数学(理数)一轮复习学案10．2《二项式定理》(含详解)

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1．二项式定理
(a＋b)n＝_______________________(n∈N*)，这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(a＋b)n的二项展开式共有____________项，其中各项的系数____________(k∈{0，1，2，…，n})叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即__________________．通项为展开式的第__________项．
2．二项式系数的性质
(1)对称性
在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(0,n)＝Ceq \\al(n,n)，Ceq \\al(1,n)＝Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(2,n)＝Ceq \\al(n－2,n)，…，____________，…，Ceq \\al(n,n)＝Ceq \\al(0,n)．
(2)增减性与最大值
二项式系数Ceq \\al(k,n)，当____________时，二项式系数是递增的；当____________时，二项式系数是递减的．
当n是偶数时，中间的一项____________取得最大值．
当n是奇数时，中间的两项____________和____________相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于________，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(r,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝________．二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝________．
自查自纠：
1．Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn
n＋1
Ceq \\al(k,n) Ceq \\al(k,n)an－kbk Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk k＋1
2．(1)Ceq \\al(k,n)＝Ceq \\al(n－k,n)
(2)k＜eq \f(n＋1,2) k＞eq \f(n＋1,2) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 (3)2n 2n 2n－1

(eq \a\vs4\al(2017·全国卷Ⅰ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6展开式中x2的系数为 ( )
A．15 B．20 C．30 D．35
解：(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)xr，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×Ceq \\al(2,6)＋1×Ceq \\al(4,6)＝30，故选C．
(eq \a\vs4\al(2018·全国卷Ⅲ))(x2＋eq \f(2,x))5的展开式中x4的系数为 ( )
A．10 B．20 C．40 D．80
解：由题可得Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(x2)5－r(eq \f(2,x))r＝Ceq \\al(r,5)·2r· x10－3r，令10－3r＝4，则r＝2，所以x4的系数为Ceq \\al(2,5)×22＝40．故选C．
(eq \a\vs4\al(2017·全国卷Ⅲ))(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为 ( )
A．－80 B．－40 C．40 D．80
解：原题即求(2x－y)5中x2y3与x3y2系数的和，即为Ceq \\al(3,5)·22·(－1)3＋Ceq \\al(2,5)·23·(－1)2＝40．故选C．
(eq \a\vs4\al(2016·全国卷Ⅰ))(2x＋eq \r(x))5的展开式中，x3的系数是____________．(用数字填写答案)
解：展开式的通项为Tr＋1＝25－rCeq \\al(r,5) SKIPIF 1 < 0 ，令 5－eq \f(r,2)＝3，得r＝4，故所求系数为2Ceq \\al(4,5)＝10．故填10．
(eq \a\vs4\al(2016·天津))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,x)))eq \s\up12(8)的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)
解：二项式展开式通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)(x2)8－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up12(r)＝(－1)rCeq \\al(r,8)x16－3r，令16－3r＝7，r＝3，所以x7的系数为(－1)3Ceq \\al(3,8)＝－56．故填－56．
类型一 求特定项
(1)(eq \a\vs4\al(2018·长沙四县联考))已知(eq \r(x)－eq \f(a,\r(x)))5的展开式中含xeq \s\up6(\f(3,2))的项的系数为30，则实数a＝________．
解：(eq \r(x)－eq \f(a,\r(x)))5的展开式的通项为Tr＋1＝ Ceq \\al(r,5)(eq \r(x))5－r·(－eq \f(a,\r(x)))r＝(－a)rCeq \\al(r,5)·xeq \s\up6(\f(5－2r,2))．依题意，令 5－2r＝3，得r＝1，所以(－a)1·Ceq \\al(1,5)＝30，解得a＝－6．故填－6．
(2)(x2＋2)(eq \f(1,x2)－1)5的展开式的常数项是( )

A．－3 B．－2 C．2 D．3
解：第一个因式取x2，第二个因式取eq \f(1,x2)得：1×Ceq \\al(1,5)(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得：2×(－1)5＝－2．展开式的常数项是5＋(－2)＝3．故选D．
(3)(eq \a\vs4\al(2017·浙江))已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．
解：a4为含x的项的系数，根据二项式定理，a4＝Ceq \\al(2,3)×12×Ceq \\al(2,2)×22＋Ceq \\al(3,3)×13×Ceq \\al(1,2)×2＝16，a5是常数项，a5＝Ceq \\al(3,3)×13×Ceq \\al(2,2)×22＝4．故填16；4．
点 拨：
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．②已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其系数．

(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))eq \s\up12(5)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 ( )
A．－40 B．－20 C．20 D．40
解：令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x)))eq \s\up12(5)的展开式中eq \f(1,x)项的系数为Ceq \\al(3,5)22(－1)3，x项的系数为 Ceq \\al(2,5)23，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))(2x－eq \f(1,x))5的展开式中常数项为 Ceq \\al(3,5)22(－1)＋Ceq \\al(2,5)23＝40．故选D．
(2)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
解：(x＋y)8展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)x8－ryr(r＝0，1，…，8)，
所以T8＝Ceq \\al(7,8)xy7＝8xy7，T7＝Ceq \\al(6,8)x2y6＝28x2y6．
所以(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的项为x·8xy7－y·28x2y6＝－20x2y7，故系数为－20．故填－20．
(3)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．10 B．20 C．30 D．60
解：在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故x5y2的系数为Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,2)＝30，故选C．
类型二 展开式的系数和问题
在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
解：设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10．
由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．
(1)二项式系数的和为Ceq \\al(0,10)＋Ceq \\al(1,10)＋…＋Ceq \\al(10,10)＝210．
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1．
(3)奇数项的二项式系数和为Ceq \\al(0,10)＋Ceq \\al(2,10)＋…＋Ceq \\al(10,10)＝29，
偶数项的二项式系数和为Ceq \\al(1,10)＋Ceq \\al(3,10)＋…＋Ceq \\al(9,10)＝29．
(4)令x＝y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
所以奇数项系数和为eq \f(1＋510,2)；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
所以偶数项系数和为eq \f(1－510,2)．
(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝eq \f(1－510,2)；
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝eq \f(1＋510,2)．
点 拨：
①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f（1）－f（－1）,2)．
(1)(eq \a\vs4\al(2018·岳阳模拟))若二项式(3x2－eq \f(1,x))n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为 ( )
A．－27Ceq \\al(3,9) B．27Ceq \\al(3,9) C．－9Ceq \\al(4,9) D．9Ceq \\al(4,9)
解：令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故(3x2－eq \f(1,x))9的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,9)(3x2)9－r(－eq \f(1,x))r＝ (－1)rCeq \\al(r,9)·39－r·x18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6Ceq \\al(6,9)·33＝27Ceq \\al(3,9)．故选B．
(2)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝ ( )
A．1 024 B．243 C．32 D．24
解：令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝ |a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝ 1 024．故选A．
(3)设eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋x))eq \s\up12(2n)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝_________________________________________．
解：设f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋x))eq \s\up12(2n)，则(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)2＝(a0＋a2＋a4＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1)(a0＋a2＋a4＋…＋ a2n＋a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＝f(－1)·f(1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)－1))eq \s\up12(2n)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋1))eq \s\up12(2n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(n)．故填eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(n)．
类型三 系数最大项问题
已知(eq \r(3,x)＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992．
(1)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2n)的二项式系数最大的项；
(2)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2n)的展开式系数最大的项．
解：由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，
所以2n＝32(负值舍去)，解得n＝5．
(1)由二项式系数的性质知，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)))eq \s\up12(10)的展开式中第6项的二项式系数最大，即Ceq \\al(5,10)＝252．
所以T6＝Ceq \\al(5,10)(2x)5eq \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x5)))＝Ceq \\al(5,10)25＝8 064．
(2)设第r＋1项的系数最大，
因为Tr＋1＝Ceq \\al(r,10)(2x)10－req \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,xr)))＝Ceq \\al(r,10)210－rx10－2r，
解得eq \f(8,3)≤r≤eq \f(11,3)，
因为r∈N，所以r＝3．故系数最大的项是第4项，第4项为T4＝Ceq \\al(3,10)27x4＝15 360x4．
点 拨：
求二项式系数最大项，如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项(第eq \f(n＋1,2)项与第eq \f(n＋1,2)＋1项)的二项式系数相等并最大．求展开式系数最大项，如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，列出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ar≥Ar－1，,Ar≥Ar＋1，))从而解出r，即得展开式系数最大的项．
已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(2,3))＋3x2))eq \s\up12(n)的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解：(1)易知n＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．
所以T3＝Ceq \\al(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(2,3))))eq \s\up12(3)·(3x2)2＝90x6，
T4＝Ceq \\al(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x\s\up6(\f(2,3))))eq \s\up12(2)·(3x2)3＝270xeq \s\up6(\f(22,3))．
(2)设展开式中第r＋1项的系数最大．
Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)·(xeq \s\up6(\f(2,3)))5－r·(3x2)r＝Ceq \\al(r,5)·3r·xeq \s\up6(\f(10＋4r,3))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3,r)≥\f(1,6－r)，,\f(1,5－r)≥\f(3,r＋1)．))
解得eq \f(7,2)≤r≤eq \f(9,2)．因为r∈N，
所以r＝4，即展开式中第5项的系数最大．
T5＝Ceq \\al(4,5)·xeq \s\up6(\f(2,3))·(3x2)4＝405xeq \s\up6(\f(26,3))．
类型四 整除问题与求近似值问题
(1)(eq \a\vs4\al(2018·临沂模拟))487被7除的余数为a(0≤a