高考数学(理数)一轮复习学案10．6《离散型随机变量及其分布列》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案10．6《离散型随机变量及其分布列》(含详解)，共9页。

10．6　离散型随机变量及其分布列




1．离散型随机变量的概念
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量
所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
(1)分布列
设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)分布列的性质
①________________________；
②________________________．
3．常用的离散型随机变量的分布列
(1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布)
随机变量X的分布列为(0 X
1
0
P
p

则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
(2)二项分布
如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其中k＝0，1，2，…，n，q＝1－p)，其概率分布为
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…

…
Cpnq0
则称X服从二项分布，记为____________．
(3)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为__________________(k＝0，1，2，…，m)，其中 m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*．此时称随机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________．

自查自纠：
1．(1)随机变量　(2)一一列出
2．(1)概率分布列
(2)①pi≥0，i＝1，2，3，…，n　②i＝1
3．(1)1－p　
(2)Cpkqn－k　Cpkqn－k　X～B(n，p)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
某射手射击所得环数X的分布列为
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0．02
0．04
0．06
0．09
0．28
0．29
0．22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为 (　　)
A．0．28 B．0．88
C．0．79 D．0．51
解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0．28＋0．29＋0．22＝0．79．故选C．
一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为 (　　)
A． B． C． D．
解：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新
()设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a()k，k＝1，2，3，则a的值为 (　　)
A．1 B． C． D．
解：因为随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝a()k(k＝1，2，3)，所以根据分布列的性质有a×＋a()2＋a()3＝1，所以a(＋＋)＝a×＝1，所以a＝．故选D．
已知X的分布列为
X
－1
0
1
P


a
设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．
解：由分布列的性质，a＝1－－＝，
所以E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
因此E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝．故填．
从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为________．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　随机变量的概念与性质
　设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0．2
0．1
0．1
0．3
m
(1)求η＝|X－1|的分布列；
(2)求P(1<2X＋1<9)．
解：(1)易知0．2＋0．1＋0．1＋0．3＋m＝1，所以m＝0．3．
由X的分布列可知η＝|X－1|的取值为0，1，2，3，
P(η＝0)＝P(X＝1)＝0．1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0．2＋0．1＝0．3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0．3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0．3，
所以η＝|X－1|的分布列为
η
0
1
2
3
P
0．1
0．3
0．3
0．3
　　(2)由1<2X＋1<9，解得0 故P(1<2X＋1<9)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0．1＋0．1＋0．3＝0．5．

点　 拨：
①研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．②注意离散型随机变量分布列的两个性质：pi≥0，i＝1，2，…，n；i＝1．③随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布．
　　
　随机变量ξ的分布列如下，其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝______________，公差d的取值范围是____________．
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
解：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c．
又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|ξ|＝1)＝a＋c＝．
又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤．
故填；．
类型二　求离散型随机变量的分布列
　()私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：
年龄/岁
[15，25)
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65)
[65，75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
(1)若从年龄在[15，25)和[25，35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；
(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)由表知，年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P





点　拨：
求随机变量的分布列，一要弄清什么是随机变量，建立它与随机事件的关系；二要把随机变量的所有值找出，不要遗漏；三是准确求出随机变量取每个值的概率，确定概率和为1后写出分布列．对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别．一般地，无放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步计数原理求随机变量对应的概率．
　　
　()从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
解：(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝．
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)
＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝×＋×＝．
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．
类型三　超几何分布
　()某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．
解：(1)设事件A：选派的三人中恰有2人会法语，则

所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





点　拨：
① 超几何分布的概率计算公式从古典概型的角
了k件次品的概率＝．②当n较小，N较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替．也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n较小而产品总数N很大时，不放回抽样近似于放回抽样．③超几何分布在产品检验中经常用到．

　()在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)．
因此X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P





X的数学期望是
E(X) ＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)
＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2．



1．求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)明确随机变量的所有可能取值，以及每个值所表示的意义，判断一个变量是否为离散型随机变量，主要看变量的值能否按一定的顺序一一列出．
(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．对于古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验恰有k次发生的概率等，都要能熟练计算．
(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质i＝1验证．
2．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能的取值，第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．在每一列中，上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
3．可用超几何分布解决的题目涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，且往往由明显的两部分组成，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等．注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下，则q＝ (　　)
ξ
－1
0
1
P

1－2q
q2
A．1 B．1±
C．1＋ D．1－
解法一：由分布列的性质，有
解得q＝1－．
解法二：由1－2q≥0⇒q≤，可排除A、B、C．故选D．
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，试验一次要么成功要么失败，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于 (　　)
A．0 B． C． D．
解：X可能取值为0或1，而P(X＝1)＝2P(X＝0)，且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1．所以P(X＝0)＝．故选C．
3．()若随机变量η的分布列如下，则当P(η η
－2
－1
0
1
2
3
P
0．1
0．2
0．2
0．3
0．1
0．1
A．x≤2 B．1≤x≤2
C．1 解：P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)＝0．8，所以1＜x≤2．故选C．
4．()从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于 (　　)
A． B． C． D．
5．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，所有的球除颜色外完全相同．连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，则下列概率等于的是 (　　)
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
6．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1 A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)
解：由分布列性质可有：P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)．故选B．
7．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝____________．
解：ξ的可能取值为0，1，2，3，
8．()为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素A，B的含量(单位：毫克)，测量数据如下：
编号
1
2
3
4
5
A含量
169
178
166
175
180
B含量
75
80
77
70
81
如果产品中的微量元素A的含量x≥175且B的含量y≥75时，该产品为优等品．现从上述5件产品中，随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X的数学期望为________．
解：5件抽测品中有2件优等品，则X的可能取值为0，1，2．
故优等品数X的数学期望为1×0．6＋2×0．1＝0．8．
另由二项分布可解．
故填0．8．
9．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
故X的分布列为
X
200
300
400
P



10．()某市每年中考都要举行实验操作考试和体能测试，初三某班共有30名学生，下表为该班学生的这两项成绩，例如表中实验操作考试和体能测试都为优秀的学生人数为6人．由于部分数据丢失，只知道从这班30人中随机抽取一个，实验操作成绩合格，且体能测试成绩合格或合格以上的概率是．

实验操作

不合格
合格
良好
优秀
体能测试
不合格
0
0
1
1
合格
0
2
1
b
良好
1
a
2
4
优秀
1
2
3
6
(1)试确定a、b的值；
(2)从30人中任意抽取3人，设实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
解：(1)由表格数据可知，实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上的学生共有(4＋a)人，记“实验操作成绩合格、且体能测试成绩合格或合格以上”为事件A，则P(A)＝＝，解得a＝2，所以b＝30－24－a＝4．所以a的值为2，b的值为4．
(2)由于从30位学生中任意抽取3位的结果数为C，其中实验操作成绩和体能测试成绩都是良好或优秀的学生人数为15人，从30人中任意抽取3人，其中恰有k个实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的结果数为CC，所以从30人中任意抽取3人，其中恰有k人实验操作考试和体能测试成绩都是良好或优秀的概率为：



所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝．
11．()某手机卖场对市民进行国产手机认可度调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：

分组/岁
频数
[25，30)
x
[30，35)
y
[35，40)
35
[40，45)
30
[45，50]
10
合计
100

(1)求频数分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；
(2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35，40)内的人数为X，求X的分布列及数学期望．
解：(1)由题意知，[25，30)内的频率为0．01×5＝0．05，故x＝100×0．05＝5．因[30，35)内的频率为1－(0．01＋0．07＋0．06＋0．02)×5＝1－0．8＝0．2，故y＝100×0．2＝20，且[30，35)这组对应的＝＝0．04．
补全频率分布直方图如下图．

(2)因为年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，
所以抽取的20人中，年龄在[35，40)内的人数为7．
则X可取0，1，2，
故X的分布列为
X
0
1
2
P



数学期望E(X)＝×1＋×2＝0．7．
已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N*)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．
(1)当n＝3时，设三次摸球(每次摸球后放回)中奖的次数为ξ，求ξ的分布列；
(2)记三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？
解：(1)当n＝3时，每次摸出两个球，

由题意知ξ的可能值为0，1，2，3，
故有P(ξ＝0)＝C×＝；
P(ξ＝1)＝C××＝；
P(ξ＝2)＝C××＝；
P(ξ＝3)＝C×＝．
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




或P(ξ＝i)＝C××，i＝0，1，2，3．
(2)设每次摸球中奖的概率为p，则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P(ξ＝2)＝C·p2·(1－p)＝－3p3＋3p2，0 由P′＝－9p2＋6p＝－3p(3p－2)知，在上P为增函数，在上P为减函数，所以当p＝时，