高考数学(理数)一轮复习学案12．3《直接证明与间接证明及数学归纳法》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案12．3《直接证明与间接证明及数学归纳法》(含详解)，共8页。
12．3　直接证明与间接证明及数学归纳法



1．直接证明
(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或__________法．
(2)分析法：一般地，从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的__________归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推证法或__________法．
(3)综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．
2．间接证明
反证法：一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论____________)，经过______________，最后得出__________．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．因此说明假设________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．
3．数学归纳法的证题步骤
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．
(2)(归纳递推)假设____________(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当____________时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有__________都成立．
4．数学归纳法的适用范围
数学归纳法主要用于解决与________有关的数学命题，证明时，它的两个步骤(归纳奠基与归纳递推)缺一不可．

自查自纠：
1．(1)推理论证　成立　由因导果　
(2)结论　充分条件　结论　执果索因
2．不成立　不成立　正确的推理　矛盾　错误
3．(2)n＝k　n＝k＋1　正整数n
4．正整数



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

要证明＋0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是__________．(填序号)
解：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a1，故⑤推不出；对于③，若a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.故填③.
8．()若a＞b＞c，则使＋≥恒成立的最大的正整数k为__________．
解：因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，且a－c＝a－b＋b－c.＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当b－c＝a－b时等号成立．因为k≤＋恒成立，所以k的最大值为4.故填4.
9．()设非等腰△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，用分析法证明：＋＝.
证明：因为△ABC非等腰三角形，所以a－b≠0，c－b≠0.
要证＋＝，
只需证＝，
只需证(a＋c－2b)(a－b＋c)＝3(a－b)(c－b)，
只需证(a＋c－b)2－b(a＋c－b)＝3(ac＋b2－bc－ab)，
只需证b2＝a2＋c2－ac，
只需证cosB＝＝，
只需证B＝.
因为A，B，C成等差数列，所以B＝＝，所以B＝显然成立．故结论成立．
10．证明：1－(x＋3)n(n∈N*)能被x＋2整除．
证明：(1)当n＝1时，1－(x＋3)＝－(x＋2)，能被x＋2整除；
(2)假设n＝k(k∈N*)时命题成立，即1－(x＋3)k能被x＋2整除，则可设1－(x＋3)k＝(x＋2)f(x)(其中f(x)为k－1次多项式)．
当n＝k＋1时，1－(x＋3)k＋1＝1－(x＋3)(x＋3)k＝(x＋3)[1－(x＋3)k]－(x＋2)＝(x＋3)(x＋2)f(x)－(x＋2)＝(x＋2)[(x＋3)f(x)－1]能被x＋2整除，所以，当n＝k＋1时，命题仍然成立．
由(1)(2)可知，对于∀n∈N*命题成立．
11．已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)．
(1)求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明：f(x)＝0没有负根．
证明：(1)因为函数f(x)＝ax＋＝ax＋1－(a＞1)，函数y＝ax(a＞1)与函数y＝－在(－1，＋∞)上均为增函数，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)假设函数f(x)＝0有负根x0，即存在x0＜0且x0≠－1满足f(x0)＝0，则ax0＝.又0＜ax0＜1，所以0＜＜1，解得＜x0＜2，这与假设矛盾．故f(x)＝0没有负根．
()已知数列{an}满足：a1＝，＝，anan＋1＜0(n≥1)；数列{bn}满足：bn＝a－a(n≥1)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．
解：(1)由题意可知，1－a＝(1－a)．
令cn＝1－a，则cn＋1＝cn，
又c1＝1－a＝，则数列{cn}是首项为，公比为的等比数列，所以cn＝·()n－1，即1－a＝·()n－1，a＝1－·()n－1，
又a1＝＞0，anan＋1＜0，
故an＝(－1)n－1·.
bn＝a－a
＝[1－·()n]－[1－·()n－1]
＝·()n－1.
(2)证明：假设数列{bn}存在三项br，bs，bt(r＜s＜t)按某种顺序成等差数列，
由(1)知，数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，
于是有br＞bs＞bt，则只有可能有2bs＝br＋bt成立．所以
2··()s－1＝·()r－1＋·()t－1，①
化简得3t－r＋2t－r＝2×2s－r3t－s，②
由于r＜s＜t，所以②式左边为奇数，右边为偶数，故②式不成立，即①式不成立，导致矛盾．
故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列．