高考数学(理数)一轮复习学案12．2《合情推理与演绎推理》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案12．2《合情推理与演绎推理》(含详解)，共8页。
12．2　合情推理与演绎推理



1．两种基本的推理
推理一般包括____________和____________两类．
2．合情推理
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
3．演绎推理
(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．
(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”可以表示为：
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结论：S是P.

自查自纠：
1．合情推理　演绎推理
2．(1)部分　个别　(2)特殊　特殊　(3)归纳　类比
3．(1)一般　特殊　(2)三段论




下列表述正确的是 (　　)
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①③④　　　 B．②③④　　　
C．②③⑤　　　 D．①③⑤
解：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤正确．故选D.
下列推理过程是类比推理的为 (　　)
A．人们通过大量试验得出抛硬币出现正面的概率为0.5
B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C．通过检验溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
解：由类比推理的概念可知，选项B为类比推理．选项A为归纳推理，选项C、D为演绎推理．故选B.
()甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是 (　　)
A．甲被录用了 B．乙被录用了
C．丙被录用了 D．无法确定谁被录用了
解：由于甲和丙的说法对立，故甲和丙必一真一假，假如甲、乙说法正确，丙说法错误，则甲和丙都被录用，不成立；若甲说法错误，乙、丙说法正确，则甲被录用，满足题意．故选A.
数列，，，，，，…，，，…，的第20项是__________．
解：在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝项，当m＝5时，即是数列中第15项，则第20项是.故填.
()如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝__________.

解：每条边有n个点，所以3条边有3n个点，三角形的3个顶点重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝＝－，即＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.故填.


类型一　归纳推理
　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N*，猜想这个数列的通项公式是什么？说明理由．
解：在{an}中，a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝＝，a4＝＝，…，
所以猜想{an}的通项公式an＝.
证明如下：因为a1＝1，an＋1＝，
所以＝＝＋，即－＝，
所以数列是以＝1为首项，为公差的等差数列，
所以＝1＋(n－1)＝n＋，
所以通项公式an＝.
(2)()观察下列不等式．
1＋＜，
1＋＋＜，
1＋＋＋＜，
……
照此规律，第五个不等式为____________．
解：观察不等式的特点，每个不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且右端分数的分子依次构成等差数列．故第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.故填1＋＋＋＋＋＜.

点　拨：
本题考查归纳推理，通过对某些个体的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律，再从中推出一个明确表达的一般性命题，从而写出题中要求的具体命题．

　(1)根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的一个通项公式．
(Ⅰ)a1＝3，an＋1＝2an＋1；
(Ⅱ)a1＝a，an＋1＝.
解：(Ⅰ)由已知有a1＝3＝22－1，
a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，
a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，
a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.
由此猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.
(Ⅱ)由已知有a1＝a，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
由此猜想an＝，n∈N*.

(2)()观察下列等式：
(sin)－2＋(sin)－2＝×1×2；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝×2×3；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×3×4；
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝×4×5；
……
照此规律，
(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝____________.
解：注意到等式的右边分别为×1×2，× 2×3，×3×4，×4×5，…，所以最后一个等式的右边为n(n＋1)．故填n(n＋1)．
类型二　类比推理
　(1)()在平面几何中， △ABC的内角C的角平分线CE分AB所成线段的比满足＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图)，平面DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于点E，则得到类比的结论是____________．

解：将平面中线段的比类比到空间中面积的比可得＝.故填＝.

点　拨：
本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下.

平面
点
线
圆
三角形
角
面积
周长
…
空间
线
面
球
三棱锥
二面角
体积
表面积
…
(2)若等差数列{an}的前n项之和为Sn，则一定有S2n－1＝(2n－1)an成立．若等比数列{bn}的前n项之积为Tn，类比等差数列的性质，则有(　　)
A．T2n－1＝(2n－1)＋bn B．T2n－1＝(2n－1)bn
C．T2n－1＝(2n－1)b D．T2n－1＝b
解：在等差数列{an}中，a1＋a2n－1＝2an，a2＋a2n－2＝2an，…，故有S2n－1＝(2n－1)an.在等比数列{bn}中，b1b2n－1＝b，b2b2n－2＝b，…，故有T2n－1＝b1b2…b2n－1＝b.故选D.

点　拨：
只要将等差数列关系式中的d换成等比数列中的q，并将“加、减、乘、除”依次变成“乘、除、乘方、开方”运算即可得到等比数列的关系式，而等差数列中d＝0通常类比成等比数列中q＝1.
　　
　(1)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O­LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是__________．

解：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.故填S＋S＋S＝S.
(2)“解方程＋＝1”有如下思路：设f(x)＝＋，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，故原方程有唯一解x＝2.类比上述思路，不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2的解集是________．
解：不等式化为x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)，设g(x)＝x3＋x，则g(x)在R上单调递增，所以不等式即g(x2)＞g(x＋2)，所以x2＞x＋2，解得x＞2或x＜－1.故填{x|x＞2或x＜－1}．
类型三　演绎推理
　指出下面推理中的错误．
(1)自然数是整数大前提
－5是整数小前提
所以，－5是自然数结论
(2)指数函数y＝ax是增函数大前提
y＝是指数函数小前提
所以，y＝是增函数结论
(3)三角函数是周期函数 大前提
y＝sinx(0