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(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习14《三角函数的图象与性质》(含详解)
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这是一份(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习14《三角函数的图象与性质》(含详解)，共39页。试卷主要包含了三角函数的综合应用等内容，欢迎下载使用。
考点14 三角函数的图象与性质
（1）能画出y=sin x，y =cos x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性.
（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.
（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.
（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
最值
当时，；
当时，．
当时，；
当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
,奇函数
，偶函数
，奇函数
单调性
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对称图形.
二、函数的图象与性质
1．函数的图象的画法
（1）变换作图法
由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.
（2）五点作图法
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：
①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；
②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.
2．函数（A>0,ω>0）的性质
（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.
（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .
（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.
（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.
利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.
3．函数（A>0,ω>0）的物理意义
当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.
三、三角函数的综合应用
（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.
（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.
（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．
（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数．
（5）函数的单调递增区间由不等式
来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定．
【注】函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解．
（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.
【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.
考向一 三角函数的图象变换
函数图象的平移变换解题策略
（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
典例1 将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到的图象，
再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，
即，
由，得，
则当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A．
【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
1．要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
考向二 确定三角函数的解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求ω，已知函数的周期T，则.
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π.
典例2已知函数的部分图象如图.
（1）求函数的解析式.
（2）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.
【解析】（1）由图象可知，又，故.
周期，
又，∴.
∴
∵.
则函数的解析式为.
（2）∵，
∴.
当时，，；
当时，，.
所以，.
2．函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________.
考向三 三角函数的性质
1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法
（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略
（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.
4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解．
（2）对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验
f（x0）的值进行判断．
（3）若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x）=0.
典例3 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值与最小值的和为2，求的值.
【解析】（1） ，
则.
（2）因为，所以.
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减，
所以.
又因为，所以，
故，因此.
3．已知函数，，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为
A． B．
C． D．
典例4 已知函数.
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为.当时，求函数的值域.
【解析】（1）.
令，解得.
故函数图象的对称轴方程为.
（2）易知.
∵，∴，
∴，
∴，
即当时，函数的值域为.
4．已知函数的部分图象如图所示：
（1）求的解析式及对称中心坐标；
（2）将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调区间及最值．
考向四 函数的性质与其他知识的综合应用
与三角恒等变换、平面向量、解三角形相结合的问题
常先通过三角恒等变换、平面向量的有关知识化简函数解析式为y=Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再结合正弦函数y=sinx的性质研究其相关性质，若涉及解三角形，则结合解三角形的相关知识求解．
典例5 已知向量，函数（）的最小正周期是.
（1）求的值及函数的单调递减区间；
（2）当时,求函数的值域.
【解析】（1） ，又的最小正周期为，∴.
∴.
令，得，
∴函数的单调递减区间为.
（2）∵，∴，∴,
故的值域为.
典例6 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且角满足，若，边上的中线长为，求的面积.
【解析】（1）
.
令，，得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2），，
因为，所以，，
所以，则，
又上的中线长为，所以，
所以，即，
所以，①
由余弦定理得，所以，②
由①②得：，
所以.
5．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）设的内角，，的对边分别为，，，且，，若，求，的值.
1．函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
2．函数f(x)=cos2x＋2sinx的最大值与最小值的和是
A．−2 B．0
C． D．
3．函数的单调减区间为
A． B．
C． D．
4．设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则
A．， B．，
C．， D．，
5．设函数，则下列结论中错误的是
A．的一个周期为
B．的最大值为2
C．在区间上单调递减
D．的一个零点为
6．函数的图象过点（如图所示），若将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴的方程为
A． B．
C． D．
7．已知函数的最小正周期为，且，则
A． B．
C． D．
8．已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递增
9．已知实数，函数的定义域为，若该函数的最大值为1，则的值为__________．
10．已知函数，，直线与、的图象分别交于、 两点，则的最大值是________．
11．将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最大值是__________．
12．已知函数，若，则__________．
13．设函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的最大值.
14．已知，设．
（1）求的解析式并求出它的最小正周期；
（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．
15．已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，||＜）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x∈[0，m]，f（x）≥1恒成立，求m的最大值．
1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）函数在的图像大致为
A． B．
C． D．
2．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2 B．
C．1 D．
3．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）函数在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
4．（2019年高考北京卷文数）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2019年高考天津卷文数）已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则
A．−2 B．
C． D．2
6．（年高考全国Ⅲ卷文数）函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
7．（年高考全国Ⅰ卷文数）已知函数，则
A．的最小正周期为π，最大值为3
B． 的最小正周期为π，最大值为4
C． 的最小正周期为，最大值为3
D．的最小正周期为，最大值为4
8．（年高考天津卷文数）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
9．（年高考全国Ⅱ卷文数）若在是减函数，则的最大值是
A． B．
C． D．
10．（年高考全国Ⅱ卷文数）函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
11．（年高考全国Ⅲ卷文数）函数的最大值为
A． B．1
C． D．
12．（年高考天津卷文数）设函数，其中．若且的最小正周期大于，则
A． B．
C． D．
13．（年高考山东卷文数）函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
14．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）函数的最小值为___________．
15．（年高考江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
16．（年高考全国Ⅱ卷文数）函数的最大值为 .
17．（2019年高考浙江卷）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数的值域．
18．（年高考北京卷文数）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.
19．（年高考江苏卷）已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
变式拓展
1．【答案】D
【解析】∵函数，
要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点向右平移个单位长度.
故选D.
【名师点睛】本题考查函数的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论.求解时，先将函数转化为，再结合两函数解析式进行对比，得出结论.
2．【答案】
【解析】由图可得，，
又，，
又，，
可得的解析式为，
将的图象向右平移个单位后的解析式为.
故答案为.
【名师点睛】本题考查由的部分图象确定函数解析式，考查函数的图象变化，考查识图与运算能力，属于中档题.求解时，由图可得，可得的值，由，可得的值，从而可得的解析式，利用的图象变换可得答案.
3．【答案】A
【解析】函数f（x）sinωx+cosωx＝2（sinωxcosωx）＝2sin（ωx），
令2sin（ωx）＝1，化为sin（ωx），
解得ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z．
∵在曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，相邻交点距离的最小值是，
∴2kπ＝ω（），令k＝0，
∴，解得ω＝2．
∴Tπ．
故选A．
【名师点睛】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．【解析】（1）由图象可知：，可得：，
又由于，可得：，
所以，
由图象知，则，
又因为，
所以，即，
所以，
令()，得：()，
所以的对称中心的坐标为().
（2）由已知的图象变换过程可得：，
由的图象知函数在上的单调增区间为，单调减区间，
当时，取得最大值2；当时，取得最小值．
【名师点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查三角函数对称中心的求法，考查三角函数图象变换，考查三角函数的单调性和最值的求法，属于中档题.
（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得的值，根据周期求得的值，根据图象上求得的值，由此求得的解析式，进而求得的对称中心.
（2）求得图象变换之后的解析式，通过求出的单调区间求得在区间上的最大值和最小值.
5．【解析】（1）
.
所以函数的最小正周期为.
（2）由，得，
因为，
所以，
所以，即，
又，
所以由正弦定理得. ①
由余弦定理，得，即. ②
由①②解得，.
【名师点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有:正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
（1）将原解析式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出的最小正周期;
（2）由可得C的范围，从而可得C的值，由，由正弦定理得，由余弦定理可得，联立可得a、b的值.
考点冲关
1．【答案】A
【解析】由，可得：
，
，所以本题选A.
【名师点睛】本题考查了余弦的二倍角公式、辅助角公式、周期公式.求解时，把，化成或者形式，然后根据公式，可以直接求解.
2．【答案】C
【解析】f(x)=1−2sin2x＋2sinx=，所以当时，，当sinx=−1时，f(x)min=−3，故选C.
3．【答案】B
【解析】由对数函数的定义域和复合函数的单调性可知，
，所以有，，
即，故选B.
4．【答案】A
【解析】由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，
，由得，故选A．
5．【答案】D
【解析】，的最小正周期为A正确；
的最大值为2，B正确，
，在上单调递减，C正确；
时，，∴不是的零点，D不正确.
故选D.
【名师点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.求解时，先利用两角和的正弦公式化简函数，再由周期公式判断；由三角函数的有界性判断；利用正弦函数的单调性判断；将代入判断.
6．【答案】D
【解析】的图象过点，，，
或，
又，
向右平移个单位长度，得，
即，
令，，，
时，为的一条对称轴方程，故选D.
【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.求解时，利用图象求得函数的解析式，根据平移法则求得，由可得结果.
7．【答案】B
【解析】函数
，其中，
所以的最小正周期为，解得，
所以，
又，即，即，
所以，故选B．
8．【答案】A
【解析】化简函数的解析式可得：，
函数为奇函数，则当时，.
令可得.
结合最小正周期公式可得：，解得：.
故函数的解析式为：.
当时，，函数在所给区间内单调递减；
当时，，函数在所给区间内不具有单调性.
据此可知，只有选项A的说法正确.
故选A.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.求解时，首先整理函数的解析式为，由函数为奇函数可得，由最小正周期公式可得，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.
9．【答案】
【解析】因为，，
由，得，则，，
所以函数的最大值为，即，
故答案为：.
【名师点睛】本题考查了辅助角公式，正弦型三角函数的最值，属于基础题.求解时，先用辅助角公式，再结合函数定义域求出函数的最大值列出方程求解即可.
10．【答案】
【解析】 ，的最大值是.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
11．【答案】
【解析】函数的图象向左平移个单位长度，得到，即的图象，
又为偶函数，所以，即，
又因为，所以的最大值为.
12．【答案】
【解析】因为周期，所以.
因为，，
所以为相邻的对称中心，所以，
所以，所以.
因为，所以，
所以.
因为，所以，所以，
所以.
13．【解析】（1）.
则函数的最小正周期为.
令，
，
函数的单调递增区间为.
（2），
，
，
故的最大值是3.
14．【解析】（1）由，
则＝，
即函数的周期，
故的最小正周期为．
（2）因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
又，
由余弦定理得：，
所以，
所以，
所以.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和利用余弦定理求解三角形，侧重考查数学运算的核心素养.
（1）先根据向量的运算规则求解，然后化简可求；
（2）先求角，结合余弦定理求出，可得面积.
15．【解析】（1）由图象可知，A＝2．
因为，
所以T＝π．
所以，解得ω＝2．
又因为函数f（x）的图象经过点，
所以，解得．
又因为，
所以．
所以．
（2）因为 x∈[0，m]，
所以，
当时，即时，f（x）单调递增，
所以f（x）≥f（0）＝1，符合题意；
当时，即时，f（x）单调递减，
所以，符合题意；
当时，即时，f（x）单调递减，
所以，不符合题意.
综上，若对于任意的x∈[0，m]，有f（x）≥1恒成立，则必有，
所以m的最大值是．
【名师点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；
(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.
直通高考
1．【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
2．【答案】A
【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．
【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．
3．【答案】B
【解析】由，
得或，
，．
在的零点个数是3，
故选B．
【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
4．【答案】C
【解析】时，，为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R的函数为偶函数等价于恒成立进行判断.
5．【答案】C
【解析】∵为奇函数，∴；
∵的最小正周期为π，∴，
∴
又，∴，
∴，
故选C.
【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，结合函数性质逐步得出的值即可.
6．【答案】C
【解析】，
故所求的最小正周期为，故选C.
【名师点睛】函数的性质：
(1).
(2)最小正周期
(3)由求对称轴.
(4)由求增区间;由求减区间.
7．【答案】B
【解析】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
8．【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数的图象向右平移个单位长度之后的解析式为，
则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误.
故选A.
【名师点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．【答案】C
【解析】.当x∈时，∈，
所以结合题意可知，，即，故所求a的最大值是·
故选C.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y=Asin(x+φ)(>0)，y=Acos(x+φ)(>0)，y=Atan(x+φ)(>0)的三角函数间是的关键.具体间题中，首先将“x+φ”看作一个整体，然后活用相关三角函的图象与性质求解.
10．【答案】C
【解析】由题意，故选C.
【名师点睛】函数的性质：
(1).
(2)最小正周期
(3)由求对称轴.
(4)由求增区间;由求减区间.
11．【答案】A
【解析】由诱导公式可得，
则，函数的最大值为.
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
12．【答案】A
【解析】由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，，
由得，故选A．
【名师点睛】关于的问题有以下两种题型：
①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值；
②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等．
13．【答案】C
【解析】因为，所以其最小正周期，故选C.
【名师点睛】求三角函数周期的方法：
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
③对于形如的函数，一般先把其化为的形式再利用公式求周期.
14．【答案】
【解析】
，
，当时，，
故函数的最小值为．
【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
15．【答案】
【解析】由题意可得，所以，
因为，所以
【名师点睛】由对称轴得，再根据限制范围求结果.函数（A>0，ω>0）的性质：
(1)；
(2)最小正周期；
(3)由求对称轴；
(4)由求增区间;由求减区间.
16．【答案】
【解析】.
【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值.
17．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，
即，
故，
所以．
又，因此或．
（2）
．
因此，函数的值域是．
【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.
18．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
所以的最小正周期为.
（2）由（1）知.
因为，
所以.
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.
（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求出函数的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质，求出m的范围，即可求出m的最小值.
19．【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值．
【解析】（1）因为，，a∥b，所以．
若，则，
与矛盾，故．
于是．
又，所以．
（2）．
因为，所以，
从而．
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值．
【名师点睛】解答本题时，（1）先由向量平行的坐标表示得，再根据同角三角函数的基本关系可得；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得，再根据的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．
熟记下列结论：（1）向量平行：，，；（2）向量垂直：；（3）向量加减乘：．
考点14 三角函数的图象与性质
（1）能画出y=sin x，y =cos x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性.
（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.
（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.
（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
最值
当时，；
当时，．
当时，；
当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
,奇函数
，偶函数
，奇函数
单调性
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对称图形.
二、函数的图象与性质
1．函数的图象的画法
（1）变换作图法
由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.
（2）五点作图法
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：
①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；
②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.
2．函数（A>0,ω>0）的性质
（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.
（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .
（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.
（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.
利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.
3．函数（A>0,ω>0）的物理意义
当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.
三、三角函数的综合应用
（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.
（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.
（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．
（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数．
（5）函数的单调递增区间由不等式
来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定．
【注】函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解．
（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.
【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.
考向一 三角函数的图象变换
函数图象的平移变换解题策略
（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
典例1 将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到的图象，
再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，
即，
由，得，
则当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A．
【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
1．要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
考向二 确定三角函数的解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求ω，已知函数的周期T，则.
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π.
典例2已知函数的部分图象如图.
（1）求函数的解析式.
（2）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.
【解析】（1）由图象可知，又，故.
周期，
又，∴.
∴
∵.
则函数的解析式为.
（2）∵，
∴.
当时，，；
当时，，.
所以，.
2．函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为________.
考向三 三角函数的性质
1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法
（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
3．三角函数单调性问题的常见类型及解题策略
（1）已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
（2）已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
（3）利用三角函数的单调性求值域（或最值）．形如y=Asin（ωx＋φ）＋b或可化为y=Asin（ωx＋φ）＋b的三角函数的值域（或最值）问题常利用三角函数的单调性解决.
4．三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
（1）求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解．
（2）对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验
f（x0）的值进行判断．
（3）若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋（kZ），同时当x=0时，f（x）取得最大或最小值．若f（x）=Asin（ωx＋φ）为奇函数，则φ=kπ（k∈Z），同时当x=0时，f（x）=0.
典例3 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值与最小值的和为2，求的值.
【解析】（1） ，
则.
（2）因为，所以.
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减，
所以.
又因为，所以，
故，因此.
3．已知函数，，在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为
A． B．
C． D．
典例4 已知函数.
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为.当时，求函数的值域.
【解析】（1）.
令，解得.
故函数图象的对称轴方程为.
（2）易知.
∵，∴，
∴，
∴，
即当时，函数的值域为.
4．已知函数的部分图象如图所示：
（1）求的解析式及对称中心坐标；
（2）将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在上的单调区间及最值．
考向四 函数的性质与其他知识的综合应用
与三角恒等变换、平面向量、解三角形相结合的问题
常先通过三角恒等变换、平面向量的有关知识化简函数解析式为y=Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再结合正弦函数y=sinx的性质研究其相关性质，若涉及解三角形，则结合解三角形的相关知识求解．
典例5 已知向量，函数（）的最小正周期是.
（1）求的值及函数的单调递减区间；
（2）当时,求函数的值域.
【解析】（1） ，又的最小正周期为，∴.
∴.
令，得，
∴函数的单调递减区间为.
（2）∵，∴，∴,
故的值域为.
典例6 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在中，内角，，所对的边分别为，，，且角满足，若，边上的中线长为，求的面积.
【解析】（1）
.
令，，得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2），，
因为，所以，，
所以，则，
又上的中线长为，所以，
所以，即，
所以，①
由余弦定理得，所以，②
由①②得：，
所以.
5．已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）设的内角，，的对边分别为，，，且，，若，求，的值.
1．函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
2．函数f(x)=cos2x＋2sinx的最大值与最小值的和是
A．−2 B．0
C． D．
3．函数的单调减区间为
A． B．
C． D．
4．设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则
A．， B．，
C．， D．，
5．设函数，则下列结论中错误的是
A．的一个周期为
B．的最大值为2
C．在区间上单调递减
D．的一个零点为
6．函数的图象过点（如图所示），若将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴的方程为
A． B．
C． D．
7．已知函数的最小正周期为，且，则
A． B．
C． D．
8．已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递增
9．已知实数，函数的定义域为，若该函数的最大值为1，则的值为__________．
10．已知函数，，直线与、的图象分别交于、 两点，则的最大值是________．
11．将函数的图象向左平移个单位长度，得到偶函数的图象，则的最大值是__________．
12．已知函数，若，则__________．
13．设函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的最大值.
14．已知，设．
（1）求的解析式并求出它的最小正周期；
（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．
15．已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，||＜）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意的x∈[0，m]，f（x）≥1恒成立，求m的最大值．
1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）函数在的图像大致为
A． B．
C． D．
2．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2 B．
C．1 D．
3．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）函数在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
4．（2019年高考北京卷文数）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2019年高考天津卷文数）已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则
A．−2 B．
C． D．2
6．（年高考全国Ⅲ卷文数）函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
7．（年高考全国Ⅰ卷文数）已知函数，则
A．的最小正周期为π，最大值为3
B． 的最小正周期为π，最大值为4
C． 的最小正周期为，最大值为3
D．的最小正周期为，最大值为4
8．（年高考天津卷文数）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
9．（年高考全国Ⅱ卷文数）若在是减函数，则的最大值是
A． B．
C． D．
10．（年高考全国Ⅱ卷文数）函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
11．（年高考全国Ⅲ卷文数）函数的最大值为
A． B．1
C． D．
12．（年高考天津卷文数）设函数，其中．若且的最小正周期大于，则
A． B．
C． D．
13．（年高考山东卷文数）函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
14．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）函数的最小值为___________．
15．（年高考江苏卷）已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
16．（年高考全国Ⅱ卷文数）函数的最大值为 .
17．（2019年高考浙江卷）设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数的值域．
18．（年高考北京卷文数）已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.
19．（年高考江苏卷）已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
变式拓展
1．【答案】D
【解析】∵函数，
要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点向右平移个单位长度.
故选D.
【名师点睛】本题考查函数的图象变化规律，关键在于能利用诱导公式将异名函数化为同名函数，再根据左右平移规律得出结论.求解时，先将函数转化为，再结合两函数解析式进行对比，得出结论.
2．【答案】
【解析】由图可得，，
又，，
又，，
可得的解析式为，
将的图象向右平移个单位后的解析式为.
故答案为.
【名师点睛】本题考查由的部分图象确定函数解析式，考查函数的图象变化，考查识图与运算能力，属于中档题.求解时，由图可得，可得的值，由，可得的值，从而可得的解析式，利用的图象变换可得答案.
3．【答案】A
【解析】函数f（x）sinωx+cosωx＝2（sinωxcosωx）＝2sin（ωx），
令2sin（ωx）＝1，化为sin（ωx），
解得ωx2kπ或ωx2kπ，k∈Z．
∵在曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，相邻交点距离的最小值是，
∴2kπ＝ω（），令k＝0，
∴，解得ω＝2．
∴Tπ．
故选A．
【名师点睛】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．【解析】（1）由图象可知：，可得：，
又由于，可得：，
所以，
由图象知，则，
又因为，
所以，即，
所以，
令()，得：()，
所以的对称中心的坐标为().
（2）由已知的图象变换过程可得：，
由的图象知函数在上的单调增区间为，单调减区间，
当时，取得最大值2；当时，取得最小值．
【名师点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查三角函数对称中心的求法，考查三角函数图象变换，考查三角函数的单调性和最值的求法，属于中档题.
（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得的值，根据周期求得的值，根据图象上求得的值，由此求得的解析式，进而求得的对称中心.
（2）求得图象变换之后的解析式，通过求出的单调区间求得在区间上的最大值和最小值.
5．【解析】（1）
.
所以函数的最小正周期为.
（2）由，得，
因为，
所以，
所以，即，
又，
所以由正弦定理得. ①
由余弦定理，得，即. ②
由①②解得，.
【名师点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有:正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
（1）将原解析式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出的最小正周期;
（2）由可得C的范围，从而可得C的值，由，由正弦定理得，由余弦定理可得，联立可得a、b的值.
考点冲关
1．【答案】A
【解析】由，可得：
，
，所以本题选A.
【名师点睛】本题考查了余弦的二倍角公式、辅助角公式、周期公式.求解时，把，化成或者形式，然后根据公式，可以直接求解.
2．【答案】C
【解析】f(x)=1−2sin2x＋2sinx=，所以当时，，当sinx=−1时，f(x)min=−3，故选C.
3．【答案】B
【解析】由对数函数的定义域和复合函数的单调性可知，
，所以有，，
即，故选B.
4．【答案】A
【解析】由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，
，由得，故选A．
5．【答案】D
【解析】，的最小正周期为A正确；
的最大值为2，B正确，
，在上单调递减，C正确；
时，，∴不是的零点，D不正确.
故选D.
【名师点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.求解时，先利用两角和的正弦公式化简函数，再由周期公式判断；由三角函数的有界性判断；利用正弦函数的单调性判断；将代入判断.
6．【答案】D
【解析】的图象过点，，，
或，
又，
向右平移个单位长度，得，
即，
令，，，
时，为的一条对称轴方程，故选D.
【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.求解时，利用图象求得函数的解析式，根据平移法则求得，由可得结果.
7．【答案】B
【解析】函数
，其中，
所以的最小正周期为，解得，
所以，
又，即，即，
所以，故选B．
8．【答案】A
【解析】化简函数的解析式可得：，
函数为奇函数，则当时，.
令可得.
结合最小正周期公式可得：，解得：.
故函数的解析式为：.
当时，，函数在所给区间内单调递减；
当时，，函数在所给区间内不具有单调性.
据此可知，只有选项A的说法正确.
故选A.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.求解时，首先整理函数的解析式为，由函数为奇函数可得，由最小正周期公式可得，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.
9．【答案】
【解析】因为，，
由，得，则，，
所以函数的最大值为，即，
故答案为：.
【名师点睛】本题考查了辅助角公式，正弦型三角函数的最值，属于基础题.求解时，先用辅助角公式，再结合函数定义域求出函数的最大值列出方程求解即可.
10．【答案】
【解析】 ，的最大值是.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
11．【答案】
【解析】函数的图象向左平移个单位长度，得到，即的图象，
又为偶函数，所以，即，
又因为，所以的最大值为.
12．【答案】
【解析】因为周期，所以.
因为，，
所以为相邻的对称中心，所以，
所以，所以.
因为，所以，
所以.
因为，所以，所以，
所以.
13．【解析】（1）.
则函数的最小正周期为.
令，
，
函数的单调递增区间为.
（2），
，
，
故的最大值是3.
14．【解析】（1）由，
则＝，
即函数的周期，
故的最小正周期为．
（2）因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
又，
由余弦定理得：，
所以，
所以，
所以.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和利用余弦定理求解三角形，侧重考查数学运算的核心素养.
（1）先根据向量的运算规则求解，然后化简可求；
（2）先求角，结合余弦定理求出，可得面积.
15．【解析】（1）由图象可知，A＝2．
因为，
所以T＝π．
所以，解得ω＝2．
又因为函数f（x）的图象经过点，
所以，解得．
又因为，
所以．
所以．
（2）因为 x∈[0，m]，
所以，
当时，即时，f（x）单调递增，
所以f（x）≥f（0）＝1，符合题意；
当时，即时，f（x）单调递减，
所以，符合题意；
当时，即时，f（x）单调递减，
所以，不符合题意.
综上，若对于任意的x∈[0，m]，有f（x）≥1恒成立，则必有，
所以m的最大值是．
【名师点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；
(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.
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1．【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
2．【答案】A
【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．
【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．
3．【答案】B
【解析】由，
得或，
，．
在的零点个数是3，
故选B．
【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
4．【答案】C
【解析】时，，为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R的函数为偶函数等价于恒成立进行判断.
5．【答案】C
【解析】∵为奇函数，∴；
∵的最小正周期为π，∴，
∴
又，∴，
∴，
故选C.
【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，结合函数性质逐步得出的值即可.
6．【答案】C
【解析】，
故所求的最小正周期为，故选C.
【名师点睛】函数的性质：
(1).
(2)最小正周期
(3)由求对称轴.
(4)由求增区间;由求减区间.
7．【答案】B
【解析】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
8．【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数的图象向右平移个单位长度之后的解析式为，
则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误.
故选A.
【名师点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．【答案】C
【解析】.当x∈时，∈，
所以结合题意可知，，即，故所求a的最大值是·
故选C.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y=Asin(x+φ)(>0)，y=Acos(x+φ)(>0)，y=Atan(x+φ)(>0)的三角函数间是的关键.具体间题中，首先将“x+φ”看作一个整体，然后活用相关三角函的图象与性质求解.
10．【答案】C
【解析】由题意，故选C.
【名师点睛】函数的性质：
(1).
(2)最小正周期
(3)由求对称轴.
(4)由求增区间;由求减区间.
11．【答案】A
【解析】由诱导公式可得，
则，函数的最大值为.
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
12．【答案】A
【解析】由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，，
由得，故选A．
【名师点睛】关于的问题有以下两种题型：
①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值；
②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等．
13．【答案】C
【解析】因为，所以其最小正周期，故选C.
【名师点睛】求三角函数周期的方法：
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
③对于形如的函数，一般先把其化为的形式再利用公式求周期.
14．【答案】
【解析】
，
，当时，，
故函数的最小值为．
【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
15．【答案】
【解析】由题意可得，所以，
因为，所以
【名师点睛】由对称轴得，再根据限制范围求结果.函数（A>0，ω>0）的性质：
(1)；
(2)最小正周期；
(3)由求对称轴；
(4)由求增区间;由求减区间.
16．【答案】
【解析】.
【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值.
17．【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，
即，
故，
所以．
又，因此或．
（2）
．
因此，函数的值域是．
【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.
18．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
所以的最小正周期为.
（2）由（1）知.
因为，
所以.
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.
（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求出函数的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质，求出m的范围，即可求出m的最小值.
19．【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值．
【解析】（1）因为，，a∥b，所以．
若，则，
与矛盾，故．
于是．
又，所以．
（2）．
因为，所以，
从而．
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值．
【名师点睛】解答本题时，（1）先由向量平行的坐标表示得，再根据同角三角函数的基本关系可得；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得，再根据的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．
熟记下列结论：（1）向量平行：，，；（2）向量垂直：；（3）向量加减乘：．
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