(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习17《平面向量的概念及其线性运算》(含详解)

考点17  平面向量的概念及其线性运算

1．平面向量的实际背景及基本概念

（1）了解向量的实际背景.

（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

（3）理解向量的几何表示.

2．向量的线性运算

（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.

一、平面向量的相关概念

二、向量的线性运算

1．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律

2．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.

【注】限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．

考向一   平面向量的基本概念

解决向量的概念问题应关注以下七点：

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．

(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．

(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．

(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．

(6)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．

(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.

典例1  下列命题正确的是

A．单位向量都相等     B．模为0的向量与任意向量共线

C．平行向量不一定是共线向量     D．任一向量与它的相反向量不相等

【答案】B

【解析】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，∴A错误；

对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任一向量平行，∴B正确；

对于C，共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，∴C错误；

对于D，例如零向量，与它的相反向量相等，∴D错误.

故选B．

1．给出下列四个命题：

①若，则；

②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；

③若，，则；

④的充要条件是且.

其中正确命题的序号是

A．①②     B．②③

C．③④     D．②④

考向二   向量的线性运算

平面向量线性运算问题的求解策略：

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

典例2  若、、、是平面内任意四点，给出下列式子：

①，②，③．

其中正确的有

A．3个     B．2个

C．1个     D．0个

【答案】B

【解析】①的等价式是=，左边=+，右边=+，不一定相等；

②的等价式是=，左边=右边=，故正确；

③的等价式是=+，左边=右边=，故正确.

所以正确的有2个，故选B．

【名师点睛】熟练掌握向量的线性运算法则是解题的关键．

2．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则

A．  B．

C．  D．

典例3  如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________.

【答案】2

【解析】由平行四边形法则，得，故λ=2.

3．如图，在中，，，若，则的值为

A．  B．

C．  D．

考向三   共线向量定理的应用

共线向量定理的主要应用：

(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．

(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．

【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

典例4  已知两个非零向量a与b不共线.

（1）若=a+b,=2a+8b,=3(a−b),求证:A,B,D三点共线;

（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

【解析】（1）∵=a+b,=2a+8b,=3(a−b),

∴+=2a+8b+3(a−b)=5(a+b)=5,

∴,共线,

又∵它们有公共点B,

∴A,B,D三点共线.

（2）∵ka+b与a+kb共线,

∴存在实数λ,使得ka+b=λ(a+kb),

∴(k−λ)a=(λk−1)b.

∵a,b是两个不共线的非零向量,

∴k−λ=λk−1=0,

∴k2−1=0,

∴k=1或−1.

【名师点睛】利用向量证明三点共线时,一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线.对于第（2）问,解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出ka+b=λ(a+kb),再利用对应系数相等这一条件,列出方程组,解出参数.

4．如图,M,N是平行四边形ABCD的边AD,CD的中点,E,F是对角线AC的三等分点,求证:B,E,M三点共线,且B,F,N三点共线.

1．下列说法正确的是

A．向量与向量是共线向量，则点必在同一条直线上

B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量

C．长度相等的向量叫做相等向量

D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同

2．已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量平行的向量为

A．     B．

C．     D．

3．设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点（且不与重合），则等于

A．  B．

C．  D．

4．设D为所在平面内一点，，则

A．     B．

C．　                  D．

5．已知为非零不共线向量，向量与共线，则

A．  B．

C．  D．8

6．已知为两非零向量，若，则与的夹角的大小是

A．     B．

C．     D．

7．已知非零向量，且，则一定共线的三点是

A．A、B、D     B．A、B、C

C．B、C、D     D．A、C、D

8．如图，在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为

A．3     B．4

C．5     D．6

9．已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为

A．     B．

C．     D．

10．已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为是线段的中点，则

A． B．

C． D．

11．在中，点M，N满足=2,.若=x+y，则x=________;y=________.

12．设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．

13．已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则_______.

14．设，是不共线的两个非零向量，若，，，且点，，在同一直线上，则__________．

1．（年高考新课标Ⅰ卷文科）在中，为边上的中线，为的中点，则

A． B． 

C． D．

2．（年高考新课标Ⅱ卷文科）设非零向量，满足，则

A．⊥       B．

C．∥    D．

1．【答案】B

【解析】①，即的模的大小相等，但方向不一定相同，故两个向量不一定相等，故①错误；

②若是不共线的四点，则且四边形为平行四边形，故②正确；

③若，则的模的大小相等，方向相同，若，则的模的大小相等，方向相同，故的模的大小相等，方向相同，即，故③正确；

④的充要条件是且同向，故④错误．

故正确命题的序号是②③，故选B.

2．【答案】D

【解析】根据题意得：，又，，

所以.

故选D.

【名师点睛】高考对向量加法、减法运算的考查，重在对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为的情况.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形（平行四边形、矩形、菱形、梯形）、正六边形等.

在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用.当运用三角形加法法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.

3．【答案】A

【解析】由题意得：

，

又，可知：.

故选A.

【名师点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型.

4．【解析】设=a,=b,则b,(a+b),

∴(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).

由,得B,E,M三点共线,

同理可得,所以B,F,N三点共线.

1．【答案】D

【解析】对于A，若向量与向量是共线向量，则或点在同一条直线上，故A错误；

对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误；

对于C，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故C错误；

对于D，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确.

故选D．

【名师点睛】本题考查向量的基本定义，关键是理解向量有关概念的定义．解题时，根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．

2．【答案】B

【解析】如图，.

故选B．

【名师点睛】该题考查的是有关向量共线的条件，在正六边形中，首先利用向量的加法运算法则，结合向量共线的条件，对选项逐个分析，求得正确结果.

3．【答案】D

【解析】为任意一点，不妨把A点看成O点，则，

是平行四边形的对角线的交点，.

故选D．

4．【答案】B

【解析】.故选B．

5．【答案】C

【解析】向量与共线，

存在实数，使得，即，

又为非零不共线向量，

，解得.

故选C.

6．【答案】A

【解析】因为，即所围成的平行四边形的对角线长度相等，所以该平行四边形为正方形或长方形，由此可得的夹角为90°，故选A．

【名师点睛】根据向量的加减法则，结合几何图象特征即可.

7．【答案】A

【解析】由向量的加法法则可得，

所以与共线，又两线段过同一点，所以三点一定共线.故选A．

【名师点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，向量的加法法则，考查利用向量的共线来证明三点共线，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.解本题时，由向量加法的“三角形”法则，可得，从而可得结果.

8．【答案】B

【解析】∵D为AB的中点，∴，∵，∴，∴O是CD的中点，∴S△AOC=S△AOD=S△AOB=S△ABC.故选B．

【名师点睛】本题考查了平面向量的几何运算，属于中档题．解决向量小题的常用方法有：数形结合，向量的三角形法则、平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底.解决本题时，根据平面向量的几何运算可知O为CD的中点，从而得出答案．

9．【答案】B

【解析】设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得.故选B．

【名师点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：

①三点共线；

②为平面上任一点，三点共线，且.

10．【答案】C

【解析】∵是线段的中点，∴==.

∵是线段的中点，∴=.

又=，

令，

则=（，

∴，，解得，，

∴，

故选C．

11．【答案】

【解析】由题中条件得+++()==x+y,所以x=,y=.

12．【答案】

【解析】因为向量与平行，所以，则所以．

13．【答案】2

【解析】如图，，所以，

又，，

故答案为.

【名师点睛】本题考查两个向量的加减法的法则，及其几何意义，属于基础题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．运算法则是：

（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；

（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.

14．【答案】

【解析】由题得

因为点，，在同一直线上，所以

故答案为.

【名师点睛】（1）本题主要考查向量的运算和共线向量的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.（2）三点共线.

1．【答案】A

【解析】根据向量的运算法则，可得

，所以，故选A.

【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

2．【答案】A

【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量，的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得⊥.故选A.