(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习44《随机事件的概率》(含详解)

这是一份(通用版)高考数学(文数)一轮复习考点梳理与过关练习44《随机事件的概率》(含详解)，共21页。试卷主要包含了随机事件及其概率，事件间的关系及运算，概率的基本性质等内容，欢迎下载使用。

考点44 随机事件的概率
（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.
（2）了解两个互斥事件的概率加法公式.


一、随机事件及其概率
1．事件的分类

2．频率与概率
（1）事件的频率：在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数,称事件A出现的比例为事件A出现的频率.
（2）事件的概率：对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件A的概率，因此可以用来估计概率.
注意：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.概率是一个确定的数，是客观存在的,与试验做没做、做多少次完全无关.
二、事件间的关系及运算

定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B，则事件A与事件B相等
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或A·B)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥

对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
且

注意：互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求必须有一个发生.因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件.
三、概率的基本性质
1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0~1之间,从而任何事件的概率都在0~1之间,即.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
2．当事件A与事件B互斥时,，该公式为概率的加法公式.当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即.
3．若事件A与事件B互为对立事件,则为必然事件,.再由加法公式得.

考向一 由频率估计随机事件的概率
随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算事件发生的概率.

典例1 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球,目前有关部门对某批产品进行了抽样检查,检查结果如下表所示:
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率






(1)计算表中乒乓球优等品的频率;
(2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位)
【解析】(1)依据公式f=,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，
所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
典例2 如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
【解析】(1)由题意知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),
∴用频率估计相应的概率约为0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,由调查结果得:
所用时间(分钟)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)A1,A2分别表示甲选择L1,L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1,L2时,在50分钟内赶到火车站.
由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∵P(A1)>P(A2),
∴甲应选择L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B2)>P(B1),
∴乙应选择L2.

1．我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为
A．108石 B．169石
C．237石 D．338石
考向二 事件间的关系及运算
对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，而且事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断. 具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．

典例3 判断下列各对事件是否为互斥事件?是否为对立事件?并说明理由.
已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生,从中任选2名去参加医德培训,其中
(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”;
(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”;
(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”;
(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”.
【解析】(1)是互斥事件,但不是对立事件.
理由是:所选的2名医生中,“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”,它与“恰有2名男医生”不可能同时发生,所以是互斥事件,同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可能选出“恰有2名女医生”,因此二者不对立.
(2)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”,它们共同含有“1名男医生和1名女医生”,能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(3)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,这与“全是男医生”能够同时发生,因此不互斥也不对立.
(4)是互斥事件,也是对立事件.
理由是:“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”,它与“全是女医生”不可能同时发生,但其中必有一个发生,故它们既是互斥事件,又是对立事件.

2．在一次随机试验中，已知A，B，C三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法一定正确的是
A．B与C是互斥事件 B．A＋B与C是对立事件
C．A＋B＋C是必然事件 D．
考向三 概率加法公式的应用
概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
求复杂事件的概率通常有两种方法：
（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；
（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.

典例4 某花店每天以每枝6元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝12元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.
（1）若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于92元的概率.
【解析】（1）当日需求量n时,利润y=6×17=102;
当日需求量时,利润y=12n-102,
所以y关于n的函数解析式为y=(n.
（2）(i)这100天中有10天的日利润为66元,20天的日利润为78元,16天的日利润为90元,54天的日利润为102元,
所以这100天的日利润的平均数为.
(ii)当天利润不少于92元即12n-102,即n,
所以所求概率P=0.16+0.15+0.13+0.1=0.54.
典例5 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示:
年降水量(mm)
[100,150)
[150,200)
[200,250)
[250,300]
概率
0.10
0.25
0.20
0.12
（1）求年降水量在[200,300]内的概率;
（2）求年降水量在[100,250)内的概率.
【解析】（1）记“年降水量在[200,250)内”为事件A,则P(A)=0.20.
记“年降水量在[250,300]内”为事件B,则P(B)=0.12.
记“年降水量在[200,300]内”为事件C,则C=A∪B,且事件A与事件B是互斥事件,
由互斥事件的概率加法公式,得P(C)=P(A)+P(B)=0.32.
即年降水量在[200,300]内的概率为0.32.
（2）记“年降水量在[100,150)内”为事件A',则P(A')=0.10.
记“年降水量在[150,200)内”为事件B',则P(B')=0.25.
记“年降水量在[200,250)内”为事件C',则P(C')= 0.20.
记“年降水量在[100,250)内”为事件D,则D=A'∪B'∪C',且事件A'、事件B'、事件C'是互斥事件,
由互斥事件的概率加法公式,得P(D)=P(A')+P(B')+P(C')=0.55.
即年降水量在[100,250)内的概率为0.55.

3．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为
A．0.05 B．0.35
C．0.7 D．0.95
4．受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3年，乙品牌车保修期为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆，统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障的时间x(年)







轿车数量(辆)
2
1
3
44
2
3
45
（1）从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．（将频率视为概率）


1．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个白球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是白球
2．下列说法正确的是
A．某人打靶，射击10次，击中7次，那么此人中靶的概率为0.7
B．一位同学做掷硬币试验，掷6次，一定有3次“正面朝上”
C．某地发行福利彩票，回报率为，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．概率等于1的事件不一定为必然事件
3．已知随机事件和互斥，且，，则
A． B．
C． D．
4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是
A． B．
C． D．1
5．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是
A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡
6．设事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则A,B之间的关系一定为
A．两个任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．对立事件
7．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为
A．0.55 B．0.6
C．0.65 D．0.7
8．甲、乙两人下中国象棋，下成和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲输棋的概率是__________.
9．某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽选1人，则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为__________.
10．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只是颜色不同）若干个，从中任取一球，取了10次有7个白球，估计袋中数量最多的是________球．
11．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出黄球的概率是0.28.若红球有21个，则蓝球有________个．
12．在抛掷一颗骰子的试验中，事件表示“不大于4的偶数点出现”，事件表示“小于5的点数出现”，则事件发生的概率为________（表示的对立事件）．
13．经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多有2人排队等候的概率是多少?
(2)至少有3人排队等候的概率是多少?











14．在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是.
（1）求任取一张，中一等奖的概率；
（2）若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张，中三等奖的概率.




15．下面是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与污染程度对应表．某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回(往返共两天)．

（1）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(只写出结论，不要求证明)
（2）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（3）求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率．






1．（天津文科）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为
A． B．
C． D．
2．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．
3．（2017新课标全国Ⅱ文科节选）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：

（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率.

4．(2019年高考全国Ⅰ卷文数节选)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

5．（2018北京文科）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
















6．（2017新课标全国Ⅲ文科）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
（1）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．

















变式拓展

1．【答案】A
【解析】粒内夹谷18粒，
米中含谷的频率为，
石中夹谷约为（石）.故选A．
【名师点睛】本题主要考查样本估计总体的应用，以及频率估计概率的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.求解时，根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果.
2．【答案】D
【解析】A，B，C三个事件发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，不能确定它们之间有任何关系，故选项A、B、C均错，
而，，D正确．
故选D．
【名师点睛】本题考查事件之间的关系，要注意事件的关系与它们的概率之间没有必然的联系，掌握互斥事件与对立事件的定义是解题基础．
3．【答案】A
【解析】根据题意，记“抽到一等品”为事件，“抽到二等品”为事件，“抽到不合格品”为事件，“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，则.
“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，则，
故选A．
4．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设A，B，C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年，第2年和第3年之内，设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，
因为A，B，C是互斥的，其概率分别为，，，
所以，
即首次出现故障发生在保修期内的概率为．
（2）乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为，
故首次出现故障发生在保修期内的概率为．
【名师点睛】本题主要考查了互斥事件以及对立事件概率计算公式，属于基础题.求解时，（1）设A，B，C分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1年，第2年和第3年之内，设D表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，分别计算出，相加即可得结果；（2）求出乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率，再利用对立事件的概率计算公式可得结果.
考点冲关

1．【答案】C
【解析】对于A，事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确；
对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴B不正确；
对于C，事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确；
对于D，事件：“至少有一个黑球”与“都是白球”不能同时发生，但一定会有一个发生，
∴这两个事件是对立事件，∴D不正确.
故选C．
【名师点睛】本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题.
2．【答案】D
【解析】A．某人打靶，射击次，击中次，那么此人中靶的概率为，是一个随机事件，故错误；
B．是一个随机事件，一位同学做掷硬币试验，掷次，不一定有次“正面朝上”，故错误；
C．是一个随机事件，买这种彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料，故错误；
D．正确，比如说在和之间随机取一个实数，这个数不等于的概率是，但不是必然事件，故正确.综上所述，故选D.
3．【答案】D
【解析】与互斥，，
，.
本题正确选项为D.
【名师点睛】本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.求解时，根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.
4．【答案】B
【解析】记从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是，故选B.
【名师点睛】本题考查了概率的计算，属于基础题型.直接利用概率相加得到答案.
5．【答案】A
【解析】由于=，结合对立事件的定义可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件,即“至多有一张移动卡”,选A．
6．【答案】B
【解析】因为P(A)+P(B)=+==P(A∪B),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.选择B．
7．【答案】B
【解析】由题设可知两次以上没击中的情形有0293、7140、1417、0371、2616、6011、7610、4281，共8种故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为，应选B.
8．【答案】
【解析】设甲输棋为事件A，由题意可得：，
故.
故答案为：．
【名师点睛】本题主要考查对立事件概率公式及其应用，属于基础题.
9．【答案】
【解析】第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．
记事件A为该职工为女职工或为第三分厂职工，
由等可能事件概率公式得：
，
则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为，
故答案为：．
【名师点睛】本题考查概率的求法，考查概率计算公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
10．【答案】白
【解析】取了10次有7个白球，则取出白球的频率是0.7，估计其概率是0.7，那么取出黄球的概率约是0.3，取出白球的概率大于取出黄球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球．
故答案为：白.
【名师点睛】本题考查概率知识，考查频率估计概率，比较基础．
11．【答案】15
【解析】由题意摸出红球的概率为0.42，并且红球有21个，则总球数为个，所以蓝球的个数为个.
所以本题答案为15.
【名师点睛】本题考查概率等基础知识，考查概率的应用，考查运算求解能力，是基础题.
12．【答案】
【解析】由题意，可知抛掷一颗骰子，基本事件的个数共有6个，
则事件A表示“不大于4的偶数点出现”的概率为，
事件B表示“小于5的点数出现”的概率为，则，
∵与互斥，∴．
【名师点睛】本题主要考查了互斥事件的概率加法公式，以及对立事件的应用，其中解答中合理应用对立事件的概率，准确应用互斥事件的概率加法公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
13．【解析】(1)记“有0人排队等候”为事件A,“有1人排队等候”为事件B,“有2人排队等候”为事件C,“有3人排队等候”为事件D,“有4人排队等候”为事件E,“有5人及5人以上排队等候”为事件F,则易知A,B,C,D,E,F互斥.
记“至多有2人排队等候”为事件G,
则G=A∪B∪C,
所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一：记“至少有3人排队等候”为事件H,
则H=D∪E∪F,
所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
方法二：因为G与H互为对立事件,所以P(H)=1-P(G)=1-0.56=0.44.
14．【解析】设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为，，，，它们是互斥事件.
由条件可得，，
（1）由对立事件的概率公式知
，
所以任取一张，中一等奖的概率为；
（2）∵，而，
∴，
又，
∴.
所以任取一张，中三等奖的概率为.
15．【解析】（1）从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
（2）设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．
根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝ (i≠j，j＝1，2，…，13)．
设B为事件“此人到达当日空气优良”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13.
所以P（B）＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)＝.
（3）设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件A，
即“此人出差期间空气质量指数至少有一天大于150，小于300”，
由题意可知P（A）＝P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)＝P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＋P(A11)＝.
【名师点睛】本题主要考查方差的性质，考查互斥事件的概率公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.求解时，（1）观察得从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大；（2）利用互斥事件的概率公式求此人到达当日空气质量优良的概率；（3）利用互斥事件的概率公式求此人出差期间(两天)空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率．
直通高考

1．【答案】A
【解析】甲不输的概率为选A．
2．【答案】
【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，
其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．
【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
3．【解析】（1）旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
4．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，
因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为．
女顾客中对该商场服务满意的比率为，
因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为．
5．【解析】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，
故所求概率为.
（Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.
故所求概率估计为.
方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.
没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.
由古典概型概率公式得.
（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.
6．【解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，
由表格数据知，最高气温低于25的频率为，
所以，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y=6450-4450=900；
若最高气温位于区间 [20,25），则Y=6300+2（450-300）-4450=300；
若最高气温低于20，则Y=6200+2（450-200）-4450= -100.
所以，Y的所有可能值为900,300，-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.