
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2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级(下)期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级(下)期中数学试卷,共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级(下)期中数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)要使二次根式有意义,实数x的取值范围是( )
A.x≥2021 B.x>2021 C.x≠2021 D.x≤2021
2.(3分)下列各式中属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.(3分)下列等式成立的是( )
A.+= B.2+=2
C.3﹣2= D.=﹣=3﹣2=1
4.(3分)在式子5,x=2,a,,m+n>0,中,属于代数式的有( )个.
A.3 B.4 C.5 D.6
5.(3分)下列各组数中,是勾股数的是( )
A.9,16,25 B.1,1, C.1,,2 D.8,15,17
6.(3分)已知平行四边形ABCD中,∠A比∠B小40°,那么∠C的度数是( )
A.40° B.70° C.110° D.140°
7.(3分)下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.同旁内角互补,两直线平行
B.如果两个角是直角,那么它们相等
C.全等三角形的对应边相等
D.如果两个实数相等,那么它们的立方相等
8.(3分)如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH,下列说法中正确的是( )
A.当AC⊥BD时,四边形EFGH为菱形
B.当AC=BD时,四边形EFGH为矩形
C.当AC⊥BD,AC=BD时,四边形EFGH为正方形
D.以上说法都不对
9.(3分)如图,边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移,在平移过程中,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为( )
A. B. C. D.
10.(3分)如图,图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片,图②是一张a×b的方格纸(a×b的方格纸指边长分别为a,b的长方形,被分成a×b个边长为1的小正方形,其中a≥2,b≥2,且a,b为正整数),把图①放置在图②中,使它恰好盖住图②中的三个小正方形,共有( )种不同的放置方法.
A.2ab B.(2a﹣2)
C.4(a﹣1)(b﹣1) D.(8a﹣8)
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)已知≈1.414,则﹣的近似值为 .(结果保留小数点后两位)
12.(3分)在实数范围内分解因式:x5﹣4x= .
13.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,则边AB的长是 .
14.(3分)如图,四边形ABCD是菱形,点M,N分别在AB,AD上,且BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点F,G分别在BC,CD上,MG与NF相交于点E.若∠A=120°,AB=a(a>0),AB:MB=3:1,则四边形CFEG的面积是 .(用含a的式子表示)
15.(3分)若正方形ABCD的边长为12,E为BC边上一点,BE=5,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM长为 .
16.(3分)如图,△ABC中,AB=AC,AD=2,BD•DC=2,则AC= .
三、解答题(本大题共8小题,共72分)
17.(8分)计算:
(1)﹣+
(2)(2﹣3)÷.
18.(8分)已知:x=+1,y=﹣1,求下列各式的值.
(1)x2+2xy+y2;
(2)x2﹣y2.
19.(8分)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深几何?”(注:丈,尺是长度单位,1丈=10尺,1尺=米)这段话翻译成现代汉语,即为:如图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是多少米?请你用所学知识解答这个问题.
20.(8分)已知实数a,b满足=()2(a≥0).
(1)请在数轴上画出a,b所有可能的位置,每种情况画一图;
(2)网格图中,小正方形的顶点叫格点,顶点都在格点上的图形叫格点图形;如图4×4的网格中,小正方形的边长都为1,若a=,▱ABCD是格点四边形,其边长AB=a,AD=2a,对角线AC=a,请在网格中画出▱ABCD;
(3)在▱ABCD内有一点O,经过点O的直线将▱ABCD的面积平分,请画出点O.
21.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以3cm/s的速度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t.
(1)当t= 时,PQ⊥BC;
(2)当PQ=CD时,求t的值.
22.(10分)已知△ABC为锐角三角形,AB=AC,点E、F分别在AB、AC上,且AE=CF.
(1)如图①,点E、F分别是AB、AC的中点时,请直接写出线段EF与BC的关系 ;
(2)如图②,当点E与点B重合,点F与点A重合时,线段EF与BC的大小关系是 ;(直接写出即可)
(3)如图③,E、F均不为中点时,猜想EF与BC之间的大小关系,并证明.
23.(10分)△ABD、△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形.
(1)如图①,当PA≠PB时,四边形PEDC为 ;
(2)猜想:当△PAB满足相应的条件:①PA=PB,②∠APB=150°其中的一个或两个时,顺次连接P、E、D、C四点所能构成的四边形是特殊平行四边形,选择其中的一种情况加以证明.
当满足条件 时,构成的四边形为 ,请写出证明过程.
(3)如图②,△APB中,AB=2,∠APB=90°,请直接写出四边形PEDC面积的最大值 .
24.(12分)将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中,B与原点重合,点A的坐标为(0,a),点E的坐标为(b,0),并且实数a,b使式子b=++3成立.
(1)直接写出点D、E的坐标:D ,E .
(2)∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
①如图①,求证AE=EF;
②如图②,连接AF交DC于点G,作GM∥AD交AE于点M,作EN∥AB交AF于点N,连接MN,求四边形MNGE的面积.
(3)如图③,连接正方形ABCD的对角线AC,若点P在AC上,点Q在CD上,且AP=CQ,请直接写出(BP+BQ)2的最小值 .
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
1.(3分)要使二次根式有意义,实数x的取值范围是( )
A.x≥2021 B.x>2021 C.x≠2021 D.x≤2021
【解答】解:由题意可知:x﹣2021≥0,
∴x≥2021
故选:A.
2.(3分)下列各式中属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:A、=2,能化简,不是最简二次根式,不符合题意;
B、=,能化简,不是最简二次根式,不符合题意;
C、不能化简,是最简二次根式,符合题意;
D、=,能化简,不是最简二次根式,不符合题意;
故选:C.
3.(3分)下列等式成立的是( )
A.+= B.2+=2
C.3﹣2= D.=﹣=3﹣2=1
【解答】解:A、+无法计算,故此选项错误;
B、2+无法计算,故此选项错误;
C、3﹣2=,故此选项正确;
D、==,故此选项错误;
故选:C.
4.(3分)在式子5,x=2,a,,m+n>0,中,属于代数式的有( )个.
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】解:5,a,,是代数式,
x=2是等式,不是代数式,
m+n>0是不等式,不是代数式.
故选:B.
5.(3分)下列各组数中,是勾股数的是( )
A.9,16,25 B.1,1, C.1,,2 D.8,15,17
【解答】解:A、92+162≠252,不是勾股数,故此选项不合题意;
B、不是正整数,不是勾股数,故此选项不合题意;
C、不是正整数,不是勾股数,故此选项不合题意;
D、82+152=172,都是正整数,是勾股数,故此选项符合题意;
故选:D.
6.(3分)已知平行四边形ABCD中,∠A比∠B小40°,那么∠C的度数是( )
A.40° B.70° C.110° D.140°
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,∠A+∠B=180°,
又∵∠B﹣∠A=40°,
∴∠B=110°,∠A=70°,
∴∠C=∠A=70°.
故选:B.
7.(3分)下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.同旁内角互补,两直线平行
B.如果两个角是直角,那么它们相等
C.全等三角形的对应边相等
D.如果两个实数相等,那么它们的立方相等
【解答】解:A、同旁内角互补,两直线平行的逆命题是两直线平行,同旁内角互补,成立,不符合题意;
B、如果两个角是直角,那么它们相等的逆命题是如果两个角是直角,那么这两个角相等,不成立,符合题意;
C、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等,成立,不符合题意;
D、如果两个实数相等,那么它们的立方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等,成立,不符合题意;
故选:B.
8.(3分)如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH,下列说法中正确的是( )
A.当AC⊥BD时,四边形EFGH为菱形
B.当AC=BD时,四边形EFGH为矩形
C.当AC⊥BD,AC=BD时,四边形EFGH为正方形
D.以上说法都不对
【解答】解:∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,
∴EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,EH∥BD,EH=BD,
∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFGH为平行四边形,
当AC⊥BD时,EF⊥EH,
∴四边形EFGH为矩形,A选项说法错误;
当AC=BD时,EH=EF,
∴四边形EFGH为菱形,B选项说法错误;
当AC⊥BD,AC=BD时,EF⊥EH,EF=EH,
∴四边形EFGH为正方形,C选项说法正确;D选项说法错误;
故选:C.
9.(3分)如图,边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移,在平移过程中,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为( )
A. B. C. D.
【解答】解:将正方形EFGH的位置特殊化,使点H与点A重合,过点M作MO⊥ED与O,则MO是梯形FEDC的中位线,如图:
∴EO=OD=4,MO=(EF+CD)=4,
∵点N、M分别是AD、FC的中点,
∴AN=ND=3,
∴ON=OD﹣ND=4﹣3=1.
在Rt△MON中,MN2=MO2+ON2,即MN===.
故选:C.
10.(3分)如图,图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片,图②是一张a×b的方格纸(a×b的方格纸指边长分别为a,b的长方形,被分成a×b个边长为1的小正方形,其中a≥2,b≥2,且a,b为正整数),把图①放置在图②中,使它恰好盖住图②中的三个小正方形,共有( )种不同的放置方法.
A.2ab B.(2a﹣2)
C.4(a﹣1)(b﹣1) D.(8a﹣8)
【解答】解:把图①放置在2×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,如图③,显然有4种不同的放置方法.
把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,如图④,在3×2的方格纸中,共可以找到2个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有8种不同的放置方法.
把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,如图⑤,在a×2的方格纸中,共可以找到(a﹣1)个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有4(a﹣1)种不同的放置方法.
把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,如图,在a×3的方格纸中,共可以找到2(a﹣1)个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有8(a﹣1)种不同的放置方法.
…,
把图①放置在a×b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有4(a﹣1)(b﹣1)种不同的放置方法.
故选:C.
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
11.(3分)已知≈1.414,则﹣的近似值为 ﹣2.83 .(结果保留小数点后两位)
【解答】解:∵≈1.414,
∴,
故答案为﹣2.83.
12.(3分)在实数范围内分解因式:x5﹣4x= x(x2+2)(x+)(x﹣) .
【解答】解:原式=x(x4﹣4)=x(x2+2)(x2﹣2)=x(x2+2)(x+)(x﹣),
故答案为:x(x2+2)(x+)(x﹣)
13.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,则边AB的长是 .
【解答】解:∵∠C=90°,AC=3,BC=5,
∴AB===,
故答案为:.
14.(3分)如图,四边形ABCD是菱形,点M,N分别在AB,AD上,且BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点F,G分别在BC,CD上,MG与NF相交于点E.若∠A=120°,AB=a(a>0),AB:MB=3:1,则四边形CFEG的面积是 a2 .(用含a的式子表示)
【解答】解:如图,连接CE,AE,
∵四边形ABCD是菱形,∠A=120°,
∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=a,∠B=60°,
∵MG∥AD,NF∥AB,
∴AB∥FN∥CD,MG∥BC∥AD,∠B=∠EFC=60°,
∴四边形EFCG是平行四边形,四边形BMGC是平行四边形,四边形DNFC是平行四边形,
∴DN=FC,BM=CG,
∴CG=CF,
∴四边形CFEG是菱形,
∴EF=FC,
∴△EFC是等边三角形,
∵AB:MB=3:1,
∴EF=a,
∴四边形CFEG的面积=2S△EFC=2××(a)2=a2,
故答案为:a2.
15.(3分)若正方形ABCD的边长为12,E为BC边上一点,BE=5,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM长为 或 .
【解答】解:如图,∵正方形的边长为12,BE=5,
∴AE==13,
①点F在CD上时,如图1,在Rt△ABE和Rt△BCF中,,
∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL),
∴∠BAE=∠CBF,
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠CBF+∠AEB=90°,
∴∠BME=90°,
∴BF⊥AE,
∴S△ABE=×13•BM=×12×5,
解得BM=;
②点F在AD上时,如图2,在Rt△ABE和Rt△BAF中,,
∴Rt△ABE≌Rt△BAF(HL),
∴AF=BE,
连接EF,则四边形ABEF是矩形,
∴BM=AE=,
综上所述,BM的长为或.
故答案为:或.
16.(3分)如图,△ABC中,AB=AC,AD=2,BD•DC=2,则AC= +1 .
【解答】解:如图,作AE⊥BC于E,
又∵AB=AC,
∴BE=CE.
根据勾股定理得,AB2=AE2+BE2,AD2=AE2+DE2,
两式相减得,AB2﹣AD2=(AE2+BE2)﹣(AE2+DE2)=BE2﹣DE2=(BE+DE)(BE﹣DE)=BD•DC,
∴AB2=AD2+BD•DC=22+2=4+2,
∴AC=AB==+1.
故答案为:+1.
三、解答题(本大题共8小题,共72分)
17.(8分)计算:
(1)﹣+
(2)(2﹣3)÷.
【解答】解:(1)原式=3﹣4+
=0;
(2)原式=(8﹣9)÷
=﹣÷
=﹣.
18.(8分)已知:x=+1,y=﹣1,求下列各式的值.
(1)x2+2xy+y2;
(2)x2﹣y2.
【解答】解:(1)当x=+1,y=﹣1时,
原式=(x+y)2=(+1+﹣1)2=12;
(2)当x=+1,y=﹣1时,
原式=(x+y)(x﹣y)=(+1+﹣1)(+1﹣+1)=4.
19.(8分)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深几何?”(注:丈,尺是长度单位,1丈=10尺,1尺=米)这段话翻译成现代汉语,即为:如图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是多少米?请你用所学知识解答这个问题.
【解答】解:设水池里水的深度是x尺,
由题意得,x2+52=(x+1)2,
解得:x=12,12×=4米
答:水池里水的深度是4米.
20.(8分)已知实数a,b满足=()2(a≥0).
(1)请在数轴上画出a,b所有可能的位置,每种情况画一图;
(2)网格图中,小正方形的顶点叫格点,顶点都在格点上的图形叫格点图形;如图4×4的网格中,小正方形的边长都为1,若a=,▱ABCD是格点四边形,其边长AB=a,AD=2a,对角线AC=a,请在网格中画出▱ABCD;
(3)在▱ABCD内有一点O,经过点O的直线将▱ABCD的面积平分,请画出点O.
【解答】解:(1)b>0时,b=a,如图,
b=0时,b=a=0,如图,
b<0时,a,b互为相反数,如图,
(2)∵a=,
∴AB=a=,AD=2a=2,AC=a=5.
(3)▱ABCD为中心对称图形,经过对角线交点的直线把▱ABCD面积平分,如图,点O即为所求.
21.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以3cm/s的速度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t.
(1)当t= 时,PQ⊥BC;
(2)当PQ=CD时,求t的值.
【解答】解:(1)当PQ⊥BC时,四边形ABQP是矩形,
∴AP=BQ,
设运动时间为t,则AP=t,BQ=26﹣3t,
26﹣3t=t,
解得:t=,
故答案为:;
(2)当四边形PQCD是等腰梯形时,PQ=CD.
设运动时间为t秒,则有AP=tcm,CQ=3tcm,
∴BQ=26﹣3t,
作PM⊥BC于M,DN⊥BC于N,则有NC=BC﹣AD=26﹣24=2.
∵梯形PQCD为等腰梯形,
∴NC=QM=2,
∴BM=(26﹣3t)+2=28﹣3t,
∴当AP=BM,即t=28﹣3t,解得t=7,
∴t=7时,四边形PQCD为等腰梯形.
综上所述t=6s或7s时,PQ=CD.
22.(10分)已知△ABC为锐角三角形,AB=AC,点E、F分别在AB、AC上,且AE=CF.
(1)如图①,点E、F分别是AB、AC的中点时,请直接写出线段EF与BC的关系 EF∥BC,EF=BC ;
(2)如图②,当点E与点B重合,点F与点A重合时,线段EF与BC的大小关系是 EF>BC ;(直接写出即可)
(3)如图③,E、F均不为中点时,猜想EF与BC之间的大小关系,并证明.
【解答】解:(1)∵点E、F分别是AB、AC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF∥BC,EF=BC,
故答案为EF∥BC,EF=BC;
(2)∵AB+AC>BC,AC=AB=EF,
∴2EF>BC,
即EF>BC,
故答案为EF>BC;
(3)EF>BC.
证明:分别过C点,E点作EF,AC的平行线,两线交于D点,连接BD,AD,
则四边形CDEF为平行四边形,
∴EF=CD,ED=CF,
∵AE=CF,
∴ED=AE,
∴∠EAD=∠EDA,
∵ED∥AC,
∴∠EDA=∠DAC,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴BD=CD,
∵BD+CD>BC,
∴2EF>BC,
即EF>BC.
23.(10分)△ABD、△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形.
(1)如图①,当PA≠PB时,四边形PEDC为 平行四边形 ;
(2)猜想:当△PAB满足相应的条件:①PA=PB,②∠APB=150°其中的一个或两个时,顺次连接P、E、D、C四点所能构成的四边形是特殊平行四边形,选择其中的一种情况加以证明.
当满足条件 ①或②或①② 时,构成的四边形为 菱形或矩形或正方形 ,请写出证明过程.
(3)如图②,△APB中,AB=2,∠APB=90°,请直接写出四边形PEDC面积的最大值 1 .
【解答】解:(1)∵△AEP,△DAB是等边三角形,
∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°,
∴∠EAD=∠PAB,
∴△EAD≌△PAB(SAS),
∴DE=BP,
∴PPB,
∴DE=PC,
同法可证PE=CD,
∴四边形PEDC是平行四边形.
故答案为:平行四边形.
(2)有三种情形:选①PA=PB,为菱形.选②∠APB=150°,为矩形.选①PA=PB,②∠APB=150°,为正方形.
理由:当PA=PB时,
∵PE=PA,PC=PB,
∴PE=PC,
∵四边形PEDC是平行四边形,
∴四边形PEDC是菱形.
当∠APB=150°时,∵∠APE=∠BPC=60°,
∴∠EPC=360°﹣60°﹣60°﹣150°=90°,
∵四边形PEDC是平行四边形,
∴四边形PEDC是矩形.
当PA=PB,∠APB=150°,
∵四边形PEDC既是菱形,又是矩形,
∴四边形PEDC是正方形.
故答案为:①或②或①②,菱形或矩形或正方形.
(3)如图所示,过P作PG⊥AB于G,过P作PH⊥AE,交AE于H,
∵∠APE=∠BPC=60°,∠APB=90°,
∴∠EPC=150°,
∵△APE是正三角形,PH⊥AE,
∴∠APH=∠EPH=30°,
∴∠CPH=180°,即点C、P、H在一条直线上,
在正△ABD、正△APE和正△BPC,
∴AE=AP,AD=AB,BP=CP,∠EAP=∠DAB=60°=∠CPB,
∴∠DAE=∠BAP,
∴△AED≌△APB(SAS),
∴ED=BP,
∴ED=CP,
同理可得EP=DC,
∴四边形PCDE是平行四边形,
∵∠EPH=30°,
∴EH=EP=AP,
∴S平行四边形CDEP=EH×CP=AP×BP=S△ABP,
∵AB=2,∠APB=90°,
∴以AB为直径作圆,当PG最大时,S△ABP的面积最大,
此时GP为半径,
∴S△ABP=×2×1=1,
∴四边形PCDE面积的最大值是1.
故答案为:1.
24.(12分)将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中,B与原点重合,点A的坐标为(0,a),点E的坐标为(b,0),并且实数a,b使式子b=++3成立.
(1)直接写出点D、E的坐标:D (6,6) ,E (3,0) .
(2)∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
①如图①,求证AE=EF;
②如图②,连接AF交DC于点G,作GM∥AD交AE于点M,作EN∥AB交AF于点N,连接MN,求四边形MNGE的面积.
(3)如图③,连接正方形ABCD的对角线AC,若点P在AC上,点Q在CD上,且AP=CQ,请直接写出(BP+BQ)2的最小值 72+36 .
【解答】解:∵实数a,b使式子b=++3成立,
∴,
∴a=6,b=3,
∴OA=6,
∴D(6,6),E(3,0);
故答案为:(6,6),(3,0);
(2)①取OA的中点K,连接KE,
∵∠AEF=90°,
∴∠FEC+∠AEO=∠AEO+∠OAE=90°,
∴∠FEC=∠OAE,
∵OE=EC=3,K为OA的中点,OA=OC,
∴AK=EC,OK=OE,
∴∠OKE=45°,
∴∠AKE=45°,
∵CF是正方形外角的平分线,
∴∠DCF=45°,
∴∠ECF=135°,
∴∠AKE=∠ECF,
在△AKE和△ECF中,
,
∴△AKE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
②延长CD,并在延长线上截取DH=OE,连接AH,
∵四边形AOCD是正方形,
∴AO=AD,∠AOE=∠ADH=90°,
∴△AOE≌△ADH(SAS),
∴∠OAE=∠DAH,AE=AH,∠AEO=∠AHD,
由①知AE=EF,
∴△AEF为等腰直角三角形,
∴∠EAF=45°,
∴∠OAE+∠DAG=∠DAH+∠DAG=∠GAH=45°,
∴∠GAH=∠GAE,
∴△AEG≌△AHG(SAS),
∴EG=GH=DG+OE,∠AGE=∠AGH,∠AEG=∠AHD,
∴∠AEO=∠AEG,
∵EN∥CD,
∴∠AGH=∠GNE=∠AGE,
∴EN=EG,
同理可得GM=GE,
∴GM=EN,
又GM⊥EN,
设DG=x,则CG=6﹣x,
∴OE=CE=3,
∴EG=x+3,
在Rt△ECG中,32+(6﹣x)2=(x+3)2,
解得x=2,
∴EG=EN=GM=5,
∴S四边形MNGE=.
(3)在外角平分线上取点F,使CF=AO,
∴∠OAP=∠QCF=45°,
∵AP=CQ,
∴△APB≌△CQF(SAS),
∴PB=QF,
∴BP+BQ=BQ+QF,
∴当B,Q,F三点共线时,值最小,即为OF的长,
过点F作FR⊥x轴于点R,
在Rt△ORF中,OF2=OR2+RF2==72+36,
∴(BP+BQ)2的最小值为72+36,
故答案为:72+36.
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