2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（下）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）要使二次根式有意义，实数x的取值范围是（　　）
A．x≥2021 B．x＞2021 C．x≠2021 D．x≤2021
2．（3分）下列各式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列等式成立的是（　　）
A．+＝ B．2+＝2
C．3﹣2＝ D．＝﹣＝3﹣2＝1
4．（3分）在式子5，x＝2，a，，m+n＞0，中，属于代数式的有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．9，16，25 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17
6．（3分）已知平行四边形ABCD中，∠A比∠B小40°，那么∠C的度数是（　　）
A．40° B．70° C．110° D．140°
7．（3分）下列各命题的逆命题不成立的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．如果两个角是直角，那么它们相等
C．全等三角形的对应边相等
D．如果两个实数相等，那么它们的立方相等
8．（3分）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（　　）

A．当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形
B．当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形
C．当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形
D．以上说法都不对
9．（3分）如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的长方形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数），把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有（　　）种不同的放置方法．

A．2ab B．（2a﹣2）
C．4（a﹣1）（b﹣1） D．（8a﹣8）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知≈1.414，则﹣的近似值为　 　．（结果保留小数点后两位）
12．（3分）在实数范围内分解因式：x5﹣4x＝　 　．
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，则边AB的长是　 　．
14．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E．若∠A＝120°，AB＝a（a＞0），AB：MB＝3：1，则四边形CFEG的面积是　 　．（用含a的式子表示）

15．（3分）若正方形ABCD的边长为12，E为BC边上一点，BE＝5，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM长为　 　．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD•DC＝2，则AC＝　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）﹣+
（2）（2﹣3）÷．
18．（8分）已知：x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
19．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是多少米？请你用所学知识解答这个问题．

20．（8分）已知实数a，b满足＝（）2（a≥0）．
（1）请在数轴上画出a，b所有可能的位置，每种情况画一图；
（2）网格图中，小正方形的顶点叫格点，顶点都在格点上的图形叫格点图形；如图4×4的网格中，小正方形的边长都为1，若a＝，▱ABCD是格点四边形，其边长AB＝a，AD＝2a，对角线AC＝a，请在网格中画出▱ABCD；
（3）在▱ABCD内有一点O，经过点O的直线将▱ABCD的面积平分，请画出点O．

21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t．
（1）当t＝　 　时，PQ⊥BC；
（2）当PQ＝CD时，求t的值．

22．（10分）已知△ABC为锐角三角形，AB＝AC，点E、F分别在AB、AC上，且AE＝CF．
（1）如图①，点E、F分别是AB、AC的中点时，请直接写出线段EF与BC的关系　 　；
（2）如图②，当点E与点B重合，点F与点A重合时，线段EF与BC的大小关系是　 　；（直接写出即可）
（3）如图③，E、F均不为中点时，猜想EF与BC之间的大小关系，并证明．

23．（10分）△ABD、△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形．
（1）如图①，当PA≠PB时，四边形PEDC为　 　；
（2）猜想：当△PAB满足相应的条件：①PA＝PB，②∠APB＝150°其中的一个或两个时，顺次连接P、E、D、C四点所能构成的四边形是特殊平行四边形，选择其中的一种情况加以证明．
当满足条件　 　时，构成的四边形为　 　，请写出证明过程．
（3）如图②，△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，请直接写出四边形PEDC面积的最大值　 　．

24．（12分）将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为（0，a），点E的坐标为（b，0），并且实数a，b使式子b＝++3成立．
（1）直接写出点D、E的坐标：D　 　，E　 　．
（2）∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
①如图①，求证AE＝EF；
②如图②，连接AF交DC于点G，作GM∥AD交AE于点M，作EN∥AB交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积．
（3）如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP＝CQ，请直接写出（BP+BQ）2的最小值　 　．


2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）要使二次根式有意义，实数x的取值范围是（　　）
A．x≥2021 B．x＞2021 C．x≠2021 D．x≤2021
【解答】解：由题意可知：x﹣2021≥0，
∴x≥2021
故选：A．
2．（3分）下列各式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、＝2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
C、不能化简，是最简二次根式，符合题意；
D、＝，能化简，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列等式成立的是（　　）
A．+＝ B．2+＝2
C．3﹣2＝ D．＝﹣＝3﹣2＝1
【解答】解：A、+无法计算，故此选项错误；
B、2+无法计算，故此选项错误；
C、3﹣2＝，故此选项正确；
D、＝＝，故此选项错误；
故选：C．
4．（3分）在式子5，x＝2，a，，m+n＞0，中，属于代数式的有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：5，a，，是代数式，
x＝2是等式，不是代数式，
m+n＞0是不等式，不是代数式．
故选：B．
5．（3分）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．9，16，25 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17
【解答】解：A、92+162≠252，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、82+152＝172，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）已知平行四边形ABCD中，∠A比∠B小40°，那么∠C的度数是（　　）
A．40° B．70° C．110° D．140°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°，
又∵∠B﹣∠A＝40°，
∴∠B＝110°，∠A＝70°，
∴∠C＝∠A＝70°．
故选：B．
7．（3分）下列各命题的逆命题不成立的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．如果两个角是直角，那么它们相等
C．全等三角形的对应边相等
D．如果两个实数相等，那么它们的立方相等
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立，不符合题意；
B、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角是直角，那么这两个角相等，不成立，符合题意；
C、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，成立，不符合题意；
D、如果两个实数相等，那么它们的立方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，成立，不符合题意；
故选：B．
8．（3分）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（　　）

A．当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形
B．当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形
C．当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形
D．以上说法都不对
【解答】解：∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，EH＝BD，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴四边形EFGH为矩形，A选项说法错误；
当AC＝BD时，EH＝EF，
∴四边形EFGH为菱形，B选项说法错误；
当AC⊥BD，AC＝BD时，EF⊥EH，EF＝EH，
∴四边形EFGH为正方形，C选项说法正确；D选项说法错误；
故选：C．
9．（3分）如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，如图：

∴EO＝OD＝4，MO＝（EF+CD）＝4，
∵点N、M分别是AD、FC的中点，
∴AN＝ND＝3，
∴ON＝OD﹣ND＝4﹣3＝1．
在Rt△MON中，MN2＝MO2+ON2，即MN＝＝＝．
故选：C．
10．（3分）如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的长方形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数），把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有（　　）种不同的放置方法．

A．2ab B．（2a﹣2）
C．4（a﹣1）（b﹣1） D．（8a﹣8）
【解答】解：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图③，显然有4种不同的放置方法．
把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有8种不同的放置方法．
把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）种不同的放置方法．
把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，如图，在a×3的方格纸中，共可以找到2（a﹣1）个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有8（a﹣1）种不同的放置方法．
…，
把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）已知≈1.414，则﹣的近似值为　﹣2.83　．（结果保留小数点后两位）
【解答】解：∵≈1.414，
∴，
故答案为﹣2.83．
12．（3分）在实数范围内分解因式：x5﹣4x＝　x（x2+2）（x+）（x﹣）　．
【解答】解：原式＝x（x4﹣4）＝x（x2+2）（x2﹣2）＝x（x2+2）（x+）（x﹣），
故答案为：x（x2+2）（x+）（x﹣）
13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，则边AB的长是　　．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，
∴AB＝＝＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E．若∠A＝120°，AB＝a（a＞0），AB：MB＝3：1，则四边形CFEG的面积是　a2　．（用含a的式子表示）

【解答】解：如图，连接CE，AE，

∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝BC＝a，∠B＝60°，
∵MG∥AD，NF∥AB，
∴AB∥FN∥CD，MG∥BC∥AD，∠B＝∠EFC＝60°，
∴四边形EFCG是平行四边形，四边形BMGC是平行四边形，四边形DNFC是平行四边形，
∴DN＝FC，BM＝CG，
∴CG＝CF，
∴四边形CFEG是菱形，
∴EF＝FC，
∴△EFC是等边三角形，
∵AB：MB＝3：1，
∴EF＝a，
∴四边形CFEG的面积＝2S△EFC＝2××（a）2＝a2，
故答案为：a2．
15．（3分）若正方形ABCD的边长为12，E为BC边上一点，BE＝5，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM长为　或　．
【解答】解：如图，∵正方形的边长为12，BE＝5，
∴AE＝＝13，
①点F在CD上时，如图1，在Rt△ABE和Rt△BCF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BME＝90°，
∴BF⊥AE，
∴S△ABE＝×13•BM＝×12×5，
解得BM＝；
②点F在AD上时，如图2，在Rt△ABE和Rt△BAF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△BAF（HL），
∴AF＝BE，
连接EF，则四边形ABEF是矩形，
∴BM＝AE＝，
综上所述，BM的长为或．
故答案为：或．

16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝2，BD•DC＝2，则AC＝　+1　．

【解答】解：如图，作AE⊥BC于E，
又∵AB＝AC，
∴BE＝CE．
根据勾股定理得，AB2＝AE2+BE2，AD2＝AE2+DE2，
两式相减得，AB2﹣AD2＝（AE2+BE2）﹣（AE2+DE2）＝BE2﹣DE2＝（BE+DE）（BE﹣DE）＝BD•DC，
∴AB2＝AD2+BD•DC＝22+2＝4+2，
∴AC＝AB＝＝+1．
故答案为：+1．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）﹣+
（2）（2﹣3）÷．
【解答】解：（1）原式＝3﹣4+
＝0；
（2）原式＝（8﹣9）÷
＝﹣÷
＝﹣．
18．（8分）已知：x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【解答】解：（1）当x＝+1，y＝﹣1时，
原式＝（x+y）2＝（+1+﹣1）2＝12；
（2）当x＝+1，y＝﹣1时，
原式＝（x+y）（x﹣y）＝（+1+﹣1）（+1﹣+1）＝4．
19．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是多少米？请你用所学知识解答这个问题．

【解答】解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，12×＝4米
答：水池里水的深度是4米．
20．（8分）已知实数a，b满足＝（）2（a≥0）．
（1）请在数轴上画出a，b所有可能的位置，每种情况画一图；
（2）网格图中，小正方形的顶点叫格点，顶点都在格点上的图形叫格点图形；如图4×4的网格中，小正方形的边长都为1，若a＝，▱ABCD是格点四边形，其边长AB＝a，AD＝2a，对角线AC＝a，请在网格中画出▱ABCD；
（3）在▱ABCD内有一点O，经过点O的直线将▱ABCD的面积平分，请画出点O．

【解答】解：（1）b＞0时，b＝a，如图，

b＝0时，b＝a＝0，如图，

b＜0时，a，b互为相反数，如图，

（2）∵a＝，
∴AB＝a＝，AD＝2a＝2，AC＝a＝5．


（3）▱ABCD为中心对称图形，经过对角线交点的直线把▱ABCD面积平分，如图，点O即为所求．

21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t．
（1）当t＝　　时，PQ⊥BC；
（2）当PQ＝CD时，求t的值．

【解答】解：（1）当PQ⊥BC时，四边形ABQP是矩形，
∴AP＝BQ，
设运动时间为t，则AP＝t，BQ＝26﹣3t，
26﹣3t＝t，
解得：t＝，
故答案为：；
（2）当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD．
设运动时间为t秒，则有AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∴BQ＝26﹣3t，
作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则有NC＝BC﹣AD＝26﹣24＝2．
∵梯形PQCD为等腰梯形，
∴NC＝QM＝2，
∴BM＝（26﹣3t）+2＝28﹣3t，
∴当AP＝BM，即t＝28﹣3t，解得t＝7，
∴t＝7时，四边形PQCD为等腰梯形．
综上所述t＝6s或7s时，PQ＝CD．
22．（10分）已知△ABC为锐角三角形，AB＝AC，点E、F分别在AB、AC上，且AE＝CF．
（1）如图①，点E、F分别是AB、AC的中点时，请直接写出线段EF与BC的关系　EF∥BC，EF＝BC　；
（2）如图②，当点E与点B重合，点F与点A重合时，线段EF与BC的大小关系是　EF＞BC　；（直接写出即可）
（3）如图③，E、F均不为中点时，猜想EF与BC之间的大小关系，并证明．

【解答】解：（1）∵点E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，EF＝BC，
故答案为EF∥BC，EF＝BC；
（2）∵AB+AC＞BC，AC＝AB＝EF，
∴2EF＞BC，
即EF＞BC，
故答案为EF＞BC；
（3）EF＞BC．
证明：分别过C点，E点作EF，AC的平行线，两线交于D点，连接BD，AD，
则四边形CDEF为平行四边形，

∴EF＝CD，ED＝CF，
∵AE＝CF，
∴ED＝AE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵ED∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD，
∵BD+CD＞BC，
∴2EF＞BC，
即EF＞BC．
23．（10分）△ABD、△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形．
（1）如图①，当PA≠PB时，四边形PEDC为　平行四边形　；
（2）猜想：当△PAB满足相应的条件：①PA＝PB，②∠APB＝150°其中的一个或两个时，顺次连接P、E、D、C四点所能构成的四边形是特殊平行四边形，选择其中的一种情况加以证明．
当满足条件　①或②或①②　时，构成的四边形为　菱形或矩形或正方形　，请写出证明过程．
（3）如图②，△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，请直接写出四边形PEDC面积的最大值　1　．

【解答】解：（1）∵△AEP，△DAB是等边三角形，
∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，
∴∠EAD＝∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴DE＝BP，
∴PPB，
∴DE＝PC，
同法可证PE＝CD，
∴四边形PEDC是平行四边形．
故答案为：平行四边形．

（2）有三种情形：选①PA＝PB，为菱形．选②∠APB＝150°，为矩形．选①PA＝PB，②∠APB＝150°，为正方形．
理由：当PA＝PB时，
∵PE＝PA，PC＝PB，
∴PE＝PC，
∵四边形PEDC是平行四边形，
∴四边形PEDC是菱形．
当∠APB＝150°时，∵∠APE＝∠BPC＝60°，
∴∠EPC＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，
∵四边形PEDC是平行四边形，
∴四边形PEDC是矩形．
当PA＝PB，∠APB＝150°，
∵四边形PEDC既是菱形，又是矩形，
∴四边形PEDC是正方形．
故答案为：①或②或①②，菱形或矩形或正方形．

（3）如图所示，过P作PG⊥AB于G，过P作PH⊥AE，交AE于H，
∵∠APE＝∠BPC＝60°，∠APB＝90°，
∴∠EPC＝150°，
∵△APE是正三角形，PH⊥AE，
∴∠APH＝∠EPH＝30°，
∴∠CPH＝180°，即点C、P、H在一条直线上，
在正△ABD、正△APE和正△BPC，
∴AE＝AP，AD＝AB，BP＝CP，∠EAP＝∠DAB＝60°＝∠CPB，
∴∠DAE＝∠BAP，
∴△AED≌△APB（SAS），
∴ED＝BP，
∴ED＝CP，
同理可得EP＝DC，
∴四边形PCDE是平行四边形，
∵∠EPH＝30°，
∴EH＝EP＝AP，
∴S平行四边形CDEP＝EH×CP＝AP×BP＝S△ABP，
∵AB＝2，∠APB＝90°，
∴以AB为直径作圆，当PG最大时，S△ABP的面积最大，
此时GP为半径，
∴S△ABP＝×2×1＝1，
∴四边形PCDE面积的最大值是1．
故答案为：1．

24．（12分）将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为（0，a），点E的坐标为（b，0），并且实数a，b使式子b＝++3成立．
（1）直接写出点D、E的坐标：D　（6，6）　，E　（3，0）　．
（2）∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
①如图①，求证AE＝EF；
②如图②，连接AF交DC于点G，作GM∥AD交AE于点M，作EN∥AB交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积．
（3）如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP＝CQ，请直接写出（BP+BQ）2的最小值　72+36　．

【解答】解：∵实数a，b使式子b＝++3成立，
∴，
∴a＝6，b＝3，
∴OA＝6，
∴D（6，6），E（3，0）；
故答案为：（6，6），（3，0）；
（2）①取OA的中点K，连接KE，

∵∠AEF＝90°，
∴∠FEC+∠AEO＝∠AEO+∠OAE＝90°，
∴∠FEC＝∠OAE，
∵OE＝EC＝3，K为OA的中点，OA＝OC，
∴AK＝EC，OK＝OE，
∴∠OKE＝45°，
∴∠AKE＝45°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AKE＝∠ECF，
在△AKE和△ECF中，
，
∴△AKE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
②延长CD，并在延长线上截取DH＝OE，连接AH，

∵四边形AOCD是正方形，
∴AO＝AD，∠AOE＝∠ADH＝90°，
∴△AOE≌△ADH（SAS），
∴∠OAE＝∠DAH，AE＝AH，∠AEO＝∠AHD，
由①知AE＝EF，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴∠EAF＝45°，
∴∠OAE+∠DAG＝∠DAH+∠DAG＝∠GAH＝45°，
∴∠GAH＝∠GAE，
∴△AEG≌△AHG（SAS），
∴EG＝GH＝DG+OE，∠AGE＝∠AGH，∠AEG＝∠AHD，
∴∠AEO＝∠AEG，
∵EN∥CD，
∴∠AGH＝∠GNE＝∠AGE，
∴EN＝EG，
同理可得GM＝GE，
∴GM＝EN，
又GM⊥EN，
设DG＝x，则CG＝6﹣x，
∴OE＝CE＝3，
∴EG＝x+3，
在Rt△ECG中，32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得x＝2，
∴EG＝EN＝GM＝5，
∴S四边形MNGE＝．
（3）在外角平分线上取点F，使CF＝AO，

∴∠OAP＝∠QCF＝45°，
∵AP＝CQ，
∴△APB≌△CQF（SAS），
∴PB＝QF，
∴BP+BQ＝BQ+QF，
∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，
过点F作FR⊥x轴于点R，
在Rt△ORF中，OF2＝OR2+RF2＝＝72+36，
∴（BP+BQ）2的最小值为72+36，
故答案为：72+36．
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