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    2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级(下)期中数学试卷

    2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级(下)期中数学试卷第1页
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    2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级(下)期中数学试卷

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    这是一份2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级(下)期中数学试卷,共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级(下)期中数学试卷
    一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
    1.(3分)要使二次根式有意义,实数x的取值范围是(  )
    A.x≥2021 B.x>2021 C.x≠2021 D.x≤2021
    2.(3分)下列各式中属于最简二次根式的是(  )
    A. B. C. D.
    3.(3分)下列等式成立的是(  )
    A.+= B.2+=2
    C.3﹣2= D.=﹣=3﹣2=1
    4.(3分)在式子5,x=2,a,,m+n>0,中,属于代数式的有(  )个.
    A.3 B.4 C.5 D.6
    5.(3分)下列各组数中,是勾股数的是(  )
    A.9,16,25 B.1,1, C.1,,2 D.8,15,17
    6.(3分)已知平行四边形ABCD中,∠A比∠B小40°,那么∠C的度数是(  )
    A.40° B.70° C.110° D.140°
    7.(3分)下列各命题的逆命题不成立的是(  )
    A.同旁内角互补,两直线平行
    B.如果两个角是直角,那么它们相等
    C.全等三角形的对应边相等
    D.如果两个实数相等,那么它们的立方相等
    8.(3分)如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH,下列说法中正确的是(  )

    A.当AC⊥BD时,四边形EFGH为菱形
    B.当AC=BD时,四边形EFGH为矩形
    C.当AC⊥BD,AC=BD时,四边形EFGH为正方形
    D.以上说法都不对
    9.(3分)如图,边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移,在平移过程中,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为(  )

    A. B. C. D.
    10.(3分)如图,图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片,图②是一张a×b的方格纸(a×b的方格纸指边长分别为a,b的长方形,被分成a×b个边长为1的小正方形,其中a≥2,b≥2,且a,b为正整数),把图①放置在图②中,使它恰好盖住图②中的三个小正方形,共有(  )种不同的放置方法.

    A.2ab B.(2a﹣2)
    C.4(a﹣1)(b﹣1) D.(8a﹣8)
    二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
    11.(3分)已知≈1.414,则﹣的近似值为   .(结果保留小数点后两位)
    12.(3分)在实数范围内分解因式:x5﹣4x=   .
    13.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,则边AB的长是   .
    14.(3分)如图,四边形ABCD是菱形,点M,N分别在AB,AD上,且BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点F,G分别在BC,CD上,MG与NF相交于点E.若∠A=120°,AB=a(a>0),AB:MB=3:1,则四边形CFEG的面积是   .(用含a的式子表示)

    15.(3分)若正方形ABCD的边长为12,E为BC边上一点,BE=5,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM长为   .
    16.(3分)如图,△ABC中,AB=AC,AD=2,BD•DC=2,则AC=   .

    三、解答题(本大题共8小题,共72分)
    17.(8分)计算:
    (1)﹣+
    (2)(2﹣3)÷.
    18.(8分)已知:x=+1,y=﹣1,求下列各式的值.
    (1)x2+2xy+y2;
    (2)x2﹣y2.
    19.(8分)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深几何?”(注:丈,尺是长度单位,1丈=10尺,1尺=米)这段话翻译成现代汉语,即为:如图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是多少米?请你用所学知识解答这个问题.

    20.(8分)已知实数a,b满足=()2(a≥0).
    (1)请在数轴上画出a,b所有可能的位置,每种情况画一图;
    (2)网格图中,小正方形的顶点叫格点,顶点都在格点上的图形叫格点图形;如图4×4的网格中,小正方形的边长都为1,若a=,▱ABCD是格点四边形,其边长AB=a,AD=2a,对角线AC=a,请在网格中画出▱ABCD;
    (3)在▱ABCD内有一点O,经过点O的直线将▱ABCD的面积平分,请画出点O.

    21.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以3cm/s的速度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t.
    (1)当t=   时,PQ⊥BC;
    (2)当PQ=CD时,求t的值.

    22.(10分)已知△ABC为锐角三角形,AB=AC,点E、F分别在AB、AC上,且AE=CF.
    (1)如图①,点E、F分别是AB、AC的中点时,请直接写出线段EF与BC的关系   ;
    (2)如图②,当点E与点B重合,点F与点A重合时,线段EF与BC的大小关系是   ;(直接写出即可)
    (3)如图③,E、F均不为中点时,猜想EF与BC之间的大小关系,并证明.

    23.(10分)△ABD、△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形.
    (1)如图①,当PA≠PB时,四边形PEDC为   ;
    (2)猜想:当△PAB满足相应的条件:①PA=PB,②∠APB=150°其中的一个或两个时,顺次连接P、E、D、C四点所能构成的四边形是特殊平行四边形,选择其中的一种情况加以证明.
    当满足条件   时,构成的四边形为   ,请写出证明过程.
    (3)如图②,△APB中,AB=2,∠APB=90°,请直接写出四边形PEDC面积的最大值   .

    24.(12分)将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中,B与原点重合,点A的坐标为(0,a),点E的坐标为(b,0),并且实数a,b使式子b=++3成立.
    (1)直接写出点D、E的坐标:D   ,E   .
    (2)∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
    ①如图①,求证AE=EF;
    ②如图②,连接AF交DC于点G,作GM∥AD交AE于点M,作EN∥AB交AF于点N,连接MN,求四边形MNGE的面积.
    (3)如图③,连接正方形ABCD的对角线AC,若点P在AC上,点Q在CD上,且AP=CQ,请直接写出(BP+BQ)2的最小值   .


    2020-2021学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级(下)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
    1.(3分)要使二次根式有意义,实数x的取值范围是(  )
    A.x≥2021 B.x>2021 C.x≠2021 D.x≤2021
    【解答】解:由题意可知:x﹣2021≥0,
    ∴x≥2021
    故选:A.
    2.(3分)下列各式中属于最简二次根式的是(  )
    A. B. C. D.
    【解答】解:A、=2,能化简,不是最简二次根式,不符合题意;
    B、=,能化简,不是最简二次根式,不符合题意;
    C、不能化简,是最简二次根式,符合题意;
    D、=,能化简,不是最简二次根式,不符合题意;
    故选:C.
    3.(3分)下列等式成立的是(  )
    A.+= B.2+=2
    C.3﹣2= D.=﹣=3﹣2=1
    【解答】解:A、+无法计算,故此选项错误;
    B、2+无法计算,故此选项错误;
    C、3﹣2=,故此选项正确;
    D、==,故此选项错误;
    故选:C.
    4.(3分)在式子5,x=2,a,,m+n>0,中,属于代数式的有(  )个.
    A.3 B.4 C.5 D.6
    【解答】解:5,a,,是代数式,
    x=2是等式,不是代数式,
    m+n>0是不等式,不是代数式.
    故选:B.
    5.(3分)下列各组数中,是勾股数的是(  )
    A.9,16,25 B.1,1, C.1,,2 D.8,15,17
    【解答】解:A、92+162≠252,不是勾股数,故此选项不合题意;
    B、不是正整数,不是勾股数,故此选项不合题意;
    C、不是正整数,不是勾股数,故此选项不合题意;
    D、82+152=172,都是正整数,是勾股数,故此选项符合题意;
    故选:D.
    6.(3分)已知平行四边形ABCD中,∠A比∠B小40°,那么∠C的度数是(  )
    A.40° B.70° C.110° D.140°
    【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴∠B=∠D,∠A+∠B=180°,
    又∵∠B﹣∠A=40°,
    ∴∠B=110°,∠A=70°,
    ∴∠C=∠A=70°.
    故选:B.
    7.(3分)下列各命题的逆命题不成立的是(  )
    A.同旁内角互补,两直线平行
    B.如果两个角是直角,那么它们相等
    C.全等三角形的对应边相等
    D.如果两个实数相等,那么它们的立方相等
    【解答】解:A、同旁内角互补,两直线平行的逆命题是两直线平行,同旁内角互补,成立,不符合题意;
    B、如果两个角是直角,那么它们相等的逆命题是如果两个角是直角,那么这两个角相等,不成立,符合题意;
    C、全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等,成立,不符合题意;
    D、如果两个实数相等,那么它们的立方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等,成立,不符合题意;
    故选:B.
    8.(3分)如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH,下列说法中正确的是(  )

    A.当AC⊥BD时,四边形EFGH为菱形
    B.当AC=BD时,四边形EFGH为矩形
    C.当AC⊥BD,AC=BD时,四边形EFGH为正方形
    D.以上说法都不对
    【解答】解:∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,
    ∴EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,EH∥BD,EH=BD,
    ∴EF∥GH,EF=GH,
    ∴四边形EFGH为平行四边形,
    当AC⊥BD时,EF⊥EH,
    ∴四边形EFGH为矩形,A选项说法错误;
    当AC=BD时,EH=EF,
    ∴四边形EFGH为菱形,B选项说法错误;
    当AC⊥BD,AC=BD时,EF⊥EH,EF=EH,
    ∴四边形EFGH为正方形,C选项说法正确;D选项说法错误;
    故选:C.
    9.(3分)如图,边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移,在平移过程中,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为(  )

    A. B. C. D.
    【解答】解:将正方形EFGH的位置特殊化,使点H与点A重合,过点M作MO⊥ED与O,则MO是梯形FEDC的中位线,如图:

    ∴EO=OD=4,MO=(EF+CD)=4,
    ∵点N、M分别是AD、FC的中点,
    ∴AN=ND=3,
    ∴ON=OD﹣ND=4﹣3=1.
    在Rt△MON中,MN2=MO2+ON2,即MN===.
    故选:C.
    10.(3分)如图,图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片,图②是一张a×b的方格纸(a×b的方格纸指边长分别为a,b的长方形,被分成a×b个边长为1的小正方形,其中a≥2,b≥2,且a,b为正整数),把图①放置在图②中,使它恰好盖住图②中的三个小正方形,共有(  )种不同的放置方法.

    A.2ab B.(2a﹣2)
    C.4(a﹣1)(b﹣1) D.(8a﹣8)
    【解答】解:把图①放置在2×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,如图③,显然有4种不同的放置方法.
    把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,如图④,在3×2的方格纸中,共可以找到2个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有8种不同的放置方法.
    把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,如图⑤,在a×2的方格纸中,共可以找到(a﹣1)个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有4(a﹣1)种不同的放置方法.
    把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,如图,在a×3的方格纸中,共可以找到2(a﹣1)个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有8(a﹣1)种不同的放置方法.
    …,
    把图①放置在a×b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有4(a﹣1)(b﹣1)种不同的放置方法.
    故选:C.
    二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)
    11.(3分)已知≈1.414,则﹣的近似值为 ﹣2.83 .(结果保留小数点后两位)
    【解答】解:∵≈1.414,
    ∴,
    故答案为﹣2.83.
    12.(3分)在实数范围内分解因式:x5﹣4x= x(x2+2)(x+)(x﹣) .
    【解答】解:原式=x(x4﹣4)=x(x2+2)(x2﹣2)=x(x2+2)(x+)(x﹣),
    故答案为:x(x2+2)(x+)(x﹣)
    13.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,则边AB的长是  .
    【解答】解:∵∠C=90°,AC=3,BC=5,
    ∴AB===,
    故答案为:.
    14.(3分)如图,四边形ABCD是菱形,点M,N分别在AB,AD上,且BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点F,G分别在BC,CD上,MG与NF相交于点E.若∠A=120°,AB=a(a>0),AB:MB=3:1,则四边形CFEG的面积是 a2 .(用含a的式子表示)

    【解答】解:如图,连接CE,AE,

    ∵四边形ABCD是菱形,∠A=120°,
    ∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=a,∠B=60°,
    ∵MG∥AD,NF∥AB,
    ∴AB∥FN∥CD,MG∥BC∥AD,∠B=∠EFC=60°,
    ∴四边形EFCG是平行四边形,四边形BMGC是平行四边形,四边形DNFC是平行四边形,
    ∴DN=FC,BM=CG,
    ∴CG=CF,
    ∴四边形CFEG是菱形,
    ∴EF=FC,
    ∴△EFC是等边三角形,
    ∵AB:MB=3:1,
    ∴EF=a,
    ∴四边形CFEG的面积=2S△EFC=2××(a)2=a2,
    故答案为:a2.
    15.(3分)若正方形ABCD的边长为12,E为BC边上一点,BE=5,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM长为 或 .
    【解答】解:如图,∵正方形的边长为12,BE=5,
    ∴AE==13,
    ①点F在CD上时,如图1,在Rt△ABE和Rt△BCF中,,
    ∴Rt△ABE≌Rt△BCF(HL),
    ∴∠BAE=∠CBF,
    ∵∠BAE+∠AEB=90°,
    ∴∠CBF+∠AEB=90°,
    ∴∠BME=90°,
    ∴BF⊥AE,
    ∴S△ABE=×13•BM=×12×5,
    解得BM=;
    ②点F在AD上时,如图2,在Rt△ABE和Rt△BAF中,,
    ∴Rt△ABE≌Rt△BAF(HL),
    ∴AF=BE,
    连接EF,则四边形ABEF是矩形,
    ∴BM=AE=,
    综上所述,BM的长为或.
    故答案为:或.

    16.(3分)如图,△ABC中,AB=AC,AD=2,BD•DC=2,则AC= +1 .

    【解答】解:如图,作AE⊥BC于E,
    又∵AB=AC,
    ∴BE=CE.
    根据勾股定理得,AB2=AE2+BE2,AD2=AE2+DE2,
    两式相减得,AB2﹣AD2=(AE2+BE2)﹣(AE2+DE2)=BE2﹣DE2=(BE+DE)(BE﹣DE)=BD•DC,
    ∴AB2=AD2+BD•DC=22+2=4+2,
    ∴AC=AB==+1.
    故答案为:+1.

    三、解答题(本大题共8小题,共72分)
    17.(8分)计算:
    (1)﹣+
    (2)(2﹣3)÷.
    【解答】解:(1)原式=3﹣4+
    =0;
    (2)原式=(8﹣9)÷
    =﹣÷
    =﹣.
    18.(8分)已知:x=+1,y=﹣1,求下列各式的值.
    (1)x2+2xy+y2;
    (2)x2﹣y2.
    【解答】解:(1)当x=+1,y=﹣1时,
    原式=(x+y)2=(+1+﹣1)2=12;
    (2)当x=+1,y=﹣1时,
    原式=(x+y)(x﹣y)=(+1+﹣1)(+1﹣+1)=4.
    19.(8分)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈,葭(jiā)生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深几何?”(注:丈,尺是长度单位,1丈=10尺,1尺=米)这段话翻译成现代汉语,即为:如图,有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.则水池里水的深度是多少米?请你用所学知识解答这个问题.

    【解答】解:设水池里水的深度是x尺,
    由题意得,x2+52=(x+1)2,
    解得:x=12,12×=4米
    答:水池里水的深度是4米.
    20.(8分)已知实数a,b满足=()2(a≥0).
    (1)请在数轴上画出a,b所有可能的位置,每种情况画一图;
    (2)网格图中,小正方形的顶点叫格点,顶点都在格点上的图形叫格点图形;如图4×4的网格中,小正方形的边长都为1,若a=,▱ABCD是格点四边形,其边长AB=a,AD=2a,对角线AC=a,请在网格中画出▱ABCD;
    (3)在▱ABCD内有一点O,经过点O的直线将▱ABCD的面积平分,请画出点O.

    【解答】解:(1)b>0时,b=a,如图,

    b=0时,b=a=0,如图,

    b<0时,a,b互为相反数,如图,

    (2)∵a=,
    ∴AB=a=,AD=2a=2,AC=a=5.


    (3)▱ABCD为中心对称图形,经过对角线交点的直线把▱ABCD面积平分,如图,点O即为所求.

    21.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以3cm/s的速度向点B运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t.
    (1)当t=  时,PQ⊥BC;
    (2)当PQ=CD时,求t的值.

    【解答】解:(1)当PQ⊥BC时,四边形ABQP是矩形,
    ∴AP=BQ,
    设运动时间为t,则AP=t,BQ=26﹣3t,
    26﹣3t=t,
    解得:t=,
    故答案为:;
    (2)当四边形PQCD是等腰梯形时,PQ=CD.
    设运动时间为t秒,则有AP=tcm,CQ=3tcm,
    ∴BQ=26﹣3t,
    作PM⊥BC于M,DN⊥BC于N,则有NC=BC﹣AD=26﹣24=2.
    ∵梯形PQCD为等腰梯形,
    ∴NC=QM=2,
    ∴BM=(26﹣3t)+2=28﹣3t,
    ∴当AP=BM,即t=28﹣3t,解得t=7,
    ∴t=7时,四边形PQCD为等腰梯形.
    综上所述t=6s或7s时,PQ=CD.
    22.(10分)已知△ABC为锐角三角形,AB=AC,点E、F分别在AB、AC上,且AE=CF.
    (1)如图①,点E、F分别是AB、AC的中点时,请直接写出线段EF与BC的关系 EF∥BC,EF=BC ;
    (2)如图②,当点E与点B重合,点F与点A重合时,线段EF与BC的大小关系是 EF>BC ;(直接写出即可)
    (3)如图③,E、F均不为中点时,猜想EF与BC之间的大小关系,并证明.

    【解答】解:(1)∵点E、F分别是AB、AC的中点,
    ∴EF是△ABC的中位线,
    ∴EF∥BC,EF=BC,
    故答案为EF∥BC,EF=BC;
    (2)∵AB+AC>BC,AC=AB=EF,
    ∴2EF>BC,
    即EF>BC,
    故答案为EF>BC;
    (3)EF>BC.
    证明:分别过C点,E点作EF,AC的平行线,两线交于D点,连接BD,AD,
    则四边形CDEF为平行四边形,

    ∴EF=CD,ED=CF,
    ∵AE=CF,
    ∴ED=AE,
    ∴∠EAD=∠EDA,
    ∵ED∥AC,
    ∴∠EDA=∠DAC,
    ∴∠BAD=∠CAD,
    在△ABD和△ACD中,

    ∴△ABD≌△ACD(SAS),
    ∴BD=CD,
    ∵BD+CD>BC,
    ∴2EF>BC,
    即EF>BC.
    23.(10分)△ABD、△APE和△BPC均为直线AB同侧的等边三角形.
    (1)如图①,当PA≠PB时,四边形PEDC为 平行四边形 ;
    (2)猜想:当△PAB满足相应的条件:①PA=PB,②∠APB=150°其中的一个或两个时,顺次连接P、E、D、C四点所能构成的四边形是特殊平行四边形,选择其中的一种情况加以证明.
    当满足条件 ①或②或①② 时,构成的四边形为 菱形或矩形或正方形 ,请写出证明过程.
    (3)如图②,△APB中,AB=2,∠APB=90°,请直接写出四边形PEDC面积的最大值 1 .

    【解答】解:(1)∵△AEP,△DAB是等边三角形,
    ∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°,
    ∴∠EAD=∠PAB,
    ∴△EAD≌△PAB(SAS),
    ∴DE=BP,
    ∴PPB,
    ∴DE=PC,
    同法可证PE=CD,
    ∴四边形PEDC是平行四边形.
    故答案为:平行四边形.

    (2)有三种情形:选①PA=PB,为菱形.选②∠APB=150°,为矩形.选①PA=PB,②∠APB=150°,为正方形.
    理由:当PA=PB时,
    ∵PE=PA,PC=PB,
    ∴PE=PC,
    ∵四边形PEDC是平行四边形,
    ∴四边形PEDC是菱形.
    当∠APB=150°时,∵∠APE=∠BPC=60°,
    ∴∠EPC=360°﹣60°﹣60°﹣150°=90°,
    ∵四边形PEDC是平行四边形,
    ∴四边形PEDC是矩形.
    当PA=PB,∠APB=150°,
    ∵四边形PEDC既是菱形,又是矩形,
    ∴四边形PEDC是正方形.
    故答案为:①或②或①②,菱形或矩形或正方形.

    (3)如图所示,过P作PG⊥AB于G,过P作PH⊥AE,交AE于H,
    ∵∠APE=∠BPC=60°,∠APB=90°,
    ∴∠EPC=150°,
    ∵△APE是正三角形,PH⊥AE,
    ∴∠APH=∠EPH=30°,
    ∴∠CPH=180°,即点C、P、H在一条直线上,
    在正△ABD、正△APE和正△BPC,
    ∴AE=AP,AD=AB,BP=CP,∠EAP=∠DAB=60°=∠CPB,
    ∴∠DAE=∠BAP,
    ∴△AED≌△APB(SAS),
    ∴ED=BP,
    ∴ED=CP,
    同理可得EP=DC,
    ∴四边形PCDE是平行四边形,
    ∵∠EPH=30°,
    ∴EH=EP=AP,
    ∴S平行四边形CDEP=EH×CP=AP×BP=S△ABP,
    ∵AB=2,∠APB=90°,
    ∴以AB为直径作圆,当PG最大时,S△ABP的面积最大,
    此时GP为半径,
    ∴S△ABP=×2×1=1,
    ∴四边形PCDE面积的最大值是1.
    故答案为:1.

    24.(12分)将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中,B与原点重合,点A的坐标为(0,a),点E的坐标为(b,0),并且实数a,b使式子b=++3成立.
    (1)直接写出点D、E的坐标:D (6,6) ,E (3,0) .
    (2)∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
    ①如图①,求证AE=EF;
    ②如图②,连接AF交DC于点G,作GM∥AD交AE于点M,作EN∥AB交AF于点N,连接MN,求四边形MNGE的面积.
    (3)如图③,连接正方形ABCD的对角线AC,若点P在AC上,点Q在CD上,且AP=CQ,请直接写出(BP+BQ)2的最小值 72+36 .

    【解答】解:∵实数a,b使式子b=++3成立,
    ∴,
    ∴a=6,b=3,
    ∴OA=6,
    ∴D(6,6),E(3,0);
    故答案为:(6,6),(3,0);
    (2)①取OA的中点K,连接KE,

    ∵∠AEF=90°,
    ∴∠FEC+∠AEO=∠AEO+∠OAE=90°,
    ∴∠FEC=∠OAE,
    ∵OE=EC=3,K为OA的中点,OA=OC,
    ∴AK=EC,OK=OE,
    ∴∠OKE=45°,
    ∴∠AKE=45°,
    ∵CF是正方形外角的平分线,
    ∴∠DCF=45°,
    ∴∠ECF=135°,
    ∴∠AKE=∠ECF,
    在△AKE和△ECF中,

    ∴△AKE≌△ECF(ASA),
    ∴AE=EF;
    ②延长CD,并在延长线上截取DH=OE,连接AH,

    ∵四边形AOCD是正方形,
    ∴AO=AD,∠AOE=∠ADH=90°,
    ∴△AOE≌△ADH(SAS),
    ∴∠OAE=∠DAH,AE=AH,∠AEO=∠AHD,
    由①知AE=EF,
    ∴△AEF为等腰直角三角形,
    ∴∠EAF=45°,
    ∴∠OAE+∠DAG=∠DAH+∠DAG=∠GAH=45°,
    ∴∠GAH=∠GAE,
    ∴△AEG≌△AHG(SAS),
    ∴EG=GH=DG+OE,∠AGE=∠AGH,∠AEG=∠AHD,
    ∴∠AEO=∠AEG,
    ∵EN∥CD,
    ∴∠AGH=∠GNE=∠AGE,
    ∴EN=EG,
    同理可得GM=GE,
    ∴GM=EN,
    又GM⊥EN,
    设DG=x,则CG=6﹣x,
    ∴OE=CE=3,
    ∴EG=x+3,
    在Rt△ECG中,32+(6﹣x)2=(x+3)2,
    解得x=2,
    ∴EG=EN=GM=5,
    ∴S四边形MNGE=.
    (3)在外角平分线上取点F,使CF=AO,

    ∴∠OAP=∠QCF=45°,
    ∵AP=CQ,
    ∴△APB≌△CQF(SAS),
    ∴PB=QF,
    ∴BP+BQ=BQ+QF,
    ∴当B,Q,F三点共线时,值最小,即为OF的长,
    过点F作FR⊥x轴于点R,
    在Rt△ORF中,OF2=OR2+RF2==72+36,
    ∴(BP+BQ)2的最小值为72+36,
    故答案为:72+36.
    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2022/4/7 16:41:01;用户:1816282;邮箱:laozhu84@126.com;学号:1816282

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