高中6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案

【新教材】6.3.5 平面向量数量积的坐标表示   教学设计（人教A版）

平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章的重点之一.

课程目标

1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.

2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现

向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.

数学学科素养

1.数学抽象：数量积的坐标运算；

2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；

3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；

4.数据分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；

5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.

重点：平面向量数量积的坐标表示；

难点：向量数量积的坐标表示的应用.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

前面，我们学习了: 用坐标表示平面向量的加法和减法, 平面向量的数量积是如何定义, 向量的运算律有哪些.那么可以用坐标表示平面向量的数量积吗？如果可以，怎么表示?

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本34-35页，思考并完成以下问题

1、平面向量数量积的坐标表示是什么？

2、如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1、两向量的数量积与两向量垂直的公式

（1）已知两个非零向量a=(x1,x2), b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？

a·b =x1x2+y1y2

即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

（2）a⊥b <=> a·b =0<=>x1x2+y1y2=0

2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式

（1）若a =(x,y)，则|a|=

（2）若A(x1,x2),B(x2,y2)，则两点A、B间的距离为

（3）设a, b都是非零向量，a=(x1,y1), b (x2,y2), a与b的夹角，

则

四、典例分析、举一反三

题型一  平面向量数量积的坐标运算

例1 (1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)

A．－1　　　　　　　　　　 B．0

C．1            D．2

(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)

A．5            B．4

C．3            D．2

【答案】(1) C．(2) A．

【解析】(1)∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，

∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.

(2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5.

解题技巧（数量积坐标运算的两条途径）

进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．

跟踪训练一

1、在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.

2．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.

【答案】1、1   2、3.

【解析】1、如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则＝(1,0)，＝(1，－1)，从而·＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.

2、设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)．又＝(1,2)，∴·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.

题型二  向量的模的问题

例2 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)

A.          B.

C.          D.

(2)已知|a|＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.

【答案】（1）A   （2）a＋b＝(8,1)或a＋b＝(－4，－7)，|a＋b|＝.

【解析】　(1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，

解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.

(2)设a＝(x，y)，

则由|a|＝2，得x2＋y2＝52.　   ①

由a⊥b，解得2x－3y＝0.        ②

由①②，解得或

∴a＝(6,4)或a＝(－6，－4)．

∴a＋b＝(8,1)或a＋b＝(－4，－7)，

∴|a＋b|＝.

解题技巧： (求向量模的两种基本策略)

(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．

(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.　　

跟踪训练二

1．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．

2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.

【答案】1、2＋.    2、8.

【解析】1、2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，

|2a－b|＝

＝

＝，

当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.

2、∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，

∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，

∴c＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，

∴|c|＝＝8.

题型三  向量的夹角和垂直问题

例3　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为(　　)

A．30° B．60°

C．120°                         D．150°

(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，求c的坐标．

【答案】(1)C.  (2) c＝.

【解析】　(1)∵a·b＝－2－8＝－10，

∴得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，

∴c·a＝－.

设a与c的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝－.

∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.

(2)设c的坐标为(x，y)，则a＋c＝(1＋x,2＋y)．

∵(a＋c)∥b，

∴(1＋x)×3－2×(2＋y)＝0，即3x－2y＝1.　①

又a＋b＝(3,5)，且(a＋b)⊥c，∴3x＋5y＝0.　②

联立①②，得方程组解得

故c＝.

解题技巧（解决向量夹角问题的方法和注意事项）

(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.

(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.　　　　　　

跟踪训练三

1、已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.

(1)求b与c；

(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．

【答案】(1)b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2).

【解析】(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.

∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，

∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．

(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，

n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．

设m，n的夹角为θ，

则cos θ＝＝

＝＝－.

∵θ∈[0，π]，∴θ＝，

即m，n的夹角为.

题型四  平面向量的数量积问题

例4　已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．

【答案】-25.

【解析】[法一　定义法]

如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，

且B＝，cos A＝，cos C＝，

∴·＋·＋·

＝·＋·

＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)

＝－20cos C－15cos A

＝－20×－15×

＝－25.

[法二　坐标法]

如图，建立平面直角坐标系，

则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．

∴＝(－3,0)，＝(0,4)，

＝(3，－4)．

∴·＝－3×0＋0×4＝0，

·＝0×3＋4×(－4)＝－16，

·＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.

∴·＋·＋·＝0－16－9＝－25.

解题技巧（求平面向量数量积常用的三个方法）

(1)定义法：利用定义式a·b＝|a||b|cos θ求解；

(2)坐标法：利用坐标式a·b＝x1x2＋y1y2求解；

(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．

跟踪训练四

1、如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．

【答案】.

【解析】法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得＝，＝.

故cos∠DOE＝＝＝.

法二：∵＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

∴||＝，||＝，

·＝2＋2＝1，

∴cos∠DOE＝＝.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本36页练习，36页习题6.3的剩余题.

结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。