高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案

【新教材】 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（人教A版）

1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.

2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现

向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.

1.数学抽象：数量积的坐标运算；

2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；

3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；

4.数据分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；

5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.

重点：平面向量数量积的坐标表示；

难点：向量数量积的坐标表示的应用.

一、    预习导入

阅读课本34-35页，填写。

1、两向量的数量积与两向量垂直的公式

（1）已知两个非零向量a=(x1,x2), b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？

a·b =________________.

即：______________________________________________.

（2）a⊥b <=>________________<=>________________.

2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式

（1）若a =(x,y)，则|a|=________________.

（2）若A(x1,x2),B(x2,y2)，则两点A、B间的距离为________________________________.

（3）设a, b都是非零向量，a=(x1,y1), b (x2,y2), a与b的夹角，则______________________.

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量的模等于向量坐标的平方和．          (　　)

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (　　)

(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角． 

2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是(　　)

A．23　　　　    B．7　　　

C．－23　　　　    D．－7

3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是(　　)

A．{2,3}            B．{－1,6} 

C．{2}            D．{6}

4．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.

题型一  平面向量数量积的坐标运算

例1 (1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)

A．－1　　　　　　　　　　 B．0

C．1            D．2

(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　)

A．5            B．4

C．3            D．2

跟踪训练一

1、在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.

2．在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.

题型二  向量的模的问题

例2 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)

A.          B.

C.          D.

(2)已知|a|＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.

跟踪训练二

1．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，则|2a－b|的最大值为________．

2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.

题型三  向量的夹角和垂直问题

例3　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为(　　)

A．30° B．60°

C．120°                         D．150°

(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，求c的坐标．　　　　　

跟踪训练三

1、已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c.

(1)求b与c；

(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．

题型四  平面向量的数量积问题

例4　已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值．

跟踪训练四

1、如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．

1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝(　　)

A．－1  B．－ 

C.      D．1

2．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为(　　)

A.         B．3 

C．－      D．－3

3．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论中正确的是(　　)

A．|a|＝|b|         B．a·b＝

C．a－b与b垂直  D．a∥b

4．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．

5．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝4，BC＝2，D是AC边上一点，且＝－，则·＝________.

6．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．

(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；

(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.

答案

小试牛刀

1. (1)× (2) ×(3) ×

2．D.

3．C.

4.2.

自主探究

例1【答案】(1) C．(2) A．

【解析】(1)∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，

∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.

(2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5.

跟踪训练一

【答案】1、1   2、3.

【解析】1、如图所示，在正方形OABC中，A(0,1)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则＝(1,0)，＝(1，－1)，从而·＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.

2、设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)．又＝(1,2)，∴·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.

例2【答案】（1）A   （2）a＋b＝(8,1)或a＋b＝(－4，－7)，|a＋b|＝.

【解析】　(1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，

解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝.

(2)设a＝(x，y)，

则由|a|＝2，得x2＋y2＝52.　   ①

由a⊥b，解得2x－3y＝0.        ②

由①②，解得或

∴a＝(6,4)或a＝(－6，－4)．

∴a＋b＝(8,1)或a＋b＝(－4，－7)，

∴|a＋b|＝.

跟踪训练二

【答案】1、2＋.    2、8.

【解析】1、2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，

|2a－b|＝

＝

＝，

当且仅当cos θ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋.

2、∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，

∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，

∴c＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，

∴|c|＝＝8.

例3【答案】(1)C.  (2) c＝.

【解析】　(1)∵a·b＝－2－8＝－10，

∴得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，

∴c·a＝－.

设a与c的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝－.

∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.

(2)设c的坐标为(x，y)，则a＋c＝(1＋x,2＋y)．

∵(a＋c)∥b，

∴(1＋x)×3－2×(2＋y)＝0，即3x－2y＝1.　①

又a＋b＝(3,5)，且(a＋b)⊥c，∴3x＋5y＝0.　②

联立①②，得方程组解得

故c＝.

跟踪训练三

【答案】(1)b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2).

【解析】(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.

∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，

∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．

(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，

n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．

设m，n的夹角为θ，

则cos θ＝＝

＝＝－.

∵θ∈[0，π]，∴θ＝，

即m，n的夹角为.

例4　【答案】-25.

【解析】[法一　定义法]

如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，

且B＝，cos A＝，cos C＝，

∴·＋·＋·

＝·＋·

＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)

＝－20cos C－15cos A

＝－20×－15×

＝－25.

[法二　坐标法]

如图，建立平面直角坐标系，

则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．

∴＝(－3,0)，＝(0,4)，

＝(3，－4)．

∴·＝－3×0＋0×4＝0，

·＝0×3＋4×(－4)＝－16，

·＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.

∴·＋·＋·＝0－16－9＝－25.

跟踪训练四

1、【答案】.

【解析】法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得＝，＝.

故cos∠DOE＝＝＝.

法二：∵＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

∴||＝，||＝，

·＝2＋2＝1，

∴cos∠DOE＝＝.

当堂检测 

1-3.DDC

4. .

5. －4.

6. 【答案】 (1)c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．(2)π.

【解析】(1)设c＝(x，y)，

∵|c|＝2，∴＝2，

∴x2＋y2＝20.

由c∥a和|c|＝2，

可得

解得或

故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．

(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，

∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，

即2a2＋3a·b－2b2＝0，

∴2×5＋3a·b－2×＝0，

整理得a·b＝－，

∴cos θ＝＝－1.

又θ∈[0，π]，∴θ＝π.