高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算学案设计

7.2  复数的四则运算

7.2.1  复数的加、减运算及其几何意义

【学习目标】

【自主学习】

一．复数加、减法的运算法则及加法运算律

1.加、减法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝                    ，z1－z2＝                 ．

2.加法运算律

对任意z1，z2，z3∈C，有

①    交换律：z1＋z2＝      ．

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

二．复数加、减法的几何意义

如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是.

【小试牛刀】

思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)复数与向量一一对应. (　　)

(2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　)

(3)复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形．(　　)

(4) 复数与复数相加减后结果只能是实数．(　　)

(5)若复数z1，z2满足z1－z2＞0，则z1＞z2.(　　)

(6)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　　)

【经典例题】

题型一  复数的加、减法运算

点拨： 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算。

例1 计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)。

【跟踪训练】1已知复数z满足z＋(1＋2i)＝5－i，则z＝____________．

题型二  复数加、减法的几何意义

点拨：

1.复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．

2.复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．　

例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1 (x1 , y1) ,Z2 (x2 , y2) 间的距离。

【跟踪训练】2 在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.

(1)求，，对应的复数；

(2)判断△ABC的形状．

【当堂达标】

1. (多选)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么(　　)

A．z的虚部为i B．z的虚部为1

C．z＝－－i D．z＝＋i

2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　 　)

A．8i B．6

C．6＋8i D．6－8i

3.在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　)

A.   B．5

C．2   D．10

4.若复数z1＝1＋3i，z2＝－2＋ai，且z1＋z2＝b＋8i，z2－z1＝－3＋ci，则实数a＝________，b＝________，c＝________．

5.A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是       三角形.

6.已知四边形OACB是复平面内的平行四边形，O为原点，点A，B分别表示复数3＋i,2＋4i，M是OC，AB的交点，如图所示，求点C，M表示的复数．

【参考答案】

【自主学习】

(a＋c)＋(b＋d) i   (a－c)＋(b－d)i     z2＋z1

【小试牛刀】

(1) ×　(2) √　(3) ×　(4)×　(5)×  (6)×

【经典例题】

例1 解 原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.

【跟踪训练】1 4－3i 解析：z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.

例2

【跟踪训练】2 解：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.

所以，，对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，

所以＝(1，0)，＝(2，1)，＝(－1，2)．

所以＝－＝(1，1)，＝－＝(－2，2)，＝－ ＝(－3，1)．

即对应的复数为1＋i，对应的复数为－2＋2i，对应的复数为－3＋i.

(2)因为||＝＝，||＝＝，||＝＝，

因为||2＋||2＝10＝||2.且||≠||，

所以△ABC是以角A为直角的直角三角形．

【当堂达标】

1. BD 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，

∴解得∴z＝＋i.∴z的虚部为1.

2.B 解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.

3. B 解析：依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5.

4. 5　－1　2 解析：z1＋z2＝(1－2)＋(3＋a)i＝－1＋(3＋a)i＝b＋8i，z2－z1＝(－2－1)＋(a－3)i＝－3＋(a－3)i＝－3＋ci，所以解得

5. 直角 解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．

6. 解：因为，分别表示复数3＋i,2＋4i，

所以＝＋O表示的复数为(3＋i)＋(2＋4i)＝5＋5i，

即点C表示的复数为5＋5i.

又＝，所以表示的复数为＋i，

即点M表示的复数为＋i.