2021学年第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第1课时导学案

【新教材】8.6.3 平面与平面垂直

（人教A版）

第1课时 平面与平面垂直的判定

1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角；

2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.

3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．

1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的判定定理，找垂直关系；

2. 数学运算：求二面角；

3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.

重点：平面与平面垂直的判定定理及其应用.

难点：平面与平面垂直的判定定理，找垂直关系.

一、    预习导入

阅读课本155-158页，填写。

1.二面角

(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的_________,这两个半平面叫二面角的_________.图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.

(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作_________的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

2.平面与平面垂直

(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是_________,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作_________ .

(2)判定定理

1.下列结论:(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角;

(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.

(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角;

(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.

其中正确的是(　 　)

A.①③ B.②④

C.③④ D.①②

2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是(　 　)

A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂α

C.m∥n,n⊥β,m⊂α     D.m∥n,m⊥α,n⊥β

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与面ABCD垂直的平面有(　 　)

A.1个 B.2个 

C.3个 D.4个

4.如图,P是边长为2的正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥AB,PA⊥ BC,且PC=5,则二面角P-BD-A的余弦值为　　　　. 

题型一  对面面垂直判定定理的应用

例1 如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面．

证明：平面平面.

跟踪训练一

1、如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.

题型二  求二面角

例2 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:

(1)求二面角D′-AB-D的大小;

(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.

跟踪训练二

1、如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2   .

(1)求证:平面PAB⊥平面ABC;

(2)E为BA的延长线上一点,若二面角P-EC-B的大小为30°,求BE的长.

1.下列说法中,正确的是(　　)

A.垂直于同一直线的两条直线互相平行

B.平行于同一平面的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面互相平行

D.平行于同一平面的两条直线互相平行

2.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角PBCA的大小为(　　)

A.60° B.30°

C.45° D.15°

3.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有(　　)

A.2对 B.3对

C.4对 D.5对

4.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角BADC的大小为____________.

5.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.

(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;

(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

答案

小试牛刀

1. B

2．C.

3．D.

4. 

自主探究

例1 【答案】证明见解析．

【解析】证明：∵是的直径，点是上的动点，

∴，即．

又∵垂直于所在平面，平面

∴．

∴

∴平面．

又平面，

∴平面平面．

跟踪训练一

1、【答案】证明见解析.

【解析】证明 由长方体的性质可知,A1B1⊥平面BCC1B1,

又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.

在Rt△B1C1M中,B1M==,同理BM==,又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.

因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.

例2 【答案】(1) 45°. (2)45°.

【解析】(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥ AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,

在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.

所以二面角D′-AB-D的大小为45°.

(2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,

则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB.

从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.

所以二面角M-AB-D的大小为45°.

跟踪训练二

1、【答案】（1）证明见解析. (2) 2+4.

【解析】（1）证明:因为PA⊥平面PBC,所以PA⊥PC,PA⊥PB.

经计算,得AC=2,AB=2.所以AB2+BC2=AC2,故BC⊥AB.

又PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC.

因为PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.

又BC⊂平面ABC,故平面PAB⊥平面ABC.

(2)如图,取AB的中点F,连接PF.

因为PA=PB,所以PF⊥AB.由(1)知平面PAB⊥平面ABC,

又平面PAB∩平面ABC=AB,PF⊂平面PAB,

所以PF⊥平面ABC,PF⊥EC.

过F作FG⊥EC于G,连接PG.

因为PF⊥EC,PF∩FG=F,

所以EC⊥平面FPG.

因为PG⊂平面FPG,

所以EC⊥PG.

于是∠PGF是二面角P-EC-B的平面角,

因此,∠PGF=30°.

又PF====,

所以FG=.设BE=x(x>2),由(1)知BC⊥AB,

所以△EFG∽△ECB,得=.因此,=,

即x2-4x-8=0,解得x=2+4(x=2-4舍去).

所以BE=2+4.

当堂检测 

1-3. BCD

4. 60°.

5．【答案】(1)证明见解析.(2)平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.

【解析】(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,

所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1⊂平面ACC1A1,

所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,

所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.

又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.

又DC1⊂平面BDC1,

故平面BDC1⊥平面BDC.

(2)解:设棱锥BDACC1的体积为V1,AC=1,

由题意得V1==.

又三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1,

所以(V-V1)∶V1=1∶1.

故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.