人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时导学案

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【新教材】 8.6.3 平面与平面垂直（人教A版） 第2课时 平面与平面垂直的性质1．理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2．通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：平面和平面垂直的性质定理.难点：平面和平面垂直的性质定理的应用.一、    预习导入阅读课本141-142页，填写。  1、平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言两个平面垂直,则一个平面内__________________的直线与另一个平面垂直 ⇒a⊥β探究: (1)如果α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?(2)如果α⊥β,过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这条直线必垂直于α吗?1.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,则下列结论中错误的是(　 　) A.AP⊥AC B.AP⊥AB C.AP⊥平面ABC D.AP与BC所成的角为45°2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1(l与棱不重合),则(　 　)   A.B1B⊥l             B.B1B∥l   C.B1B与l异面        D.B1B与l相交3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m∥α,n⊂β,则下列叙述正确的是(　　)A.若α∥β,则m∥n      B.若m∥n,则α∥βC.若n⊥α,则m⊥β      D.若m⊥β,则α⊥β4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°, BC1⊥AC,则C1在平面ABC上的射影H必在直线　　　　上. 题型一  平面与平面平行的性质定理的应用例1 在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC.求证：.跟踪训练一1.如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是∠DAB= 60°,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求证:AD⊥PB. 题型二  线面、面面垂直的的综合应用例2 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.跟踪训练二1、如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点, EP⊥平面ABCD.(1)求证:AQ∥平面CEP;(2)求证:平面AEQ⊥平面DEP. 1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线　②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线　③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面　④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是(　　)A.3     B.2      C.1    D.02.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是(　　)A.直角三角形 B.等腰三角形B.等边三角形 D.等腰直角三角形3.如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为(　　)A.1   B.2   C.3  D.44.如图所示,三棱锥PABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是　　　　　　.5.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求证:BD⊥AA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.     答案小试牛刀1．D.2．B.3．D.4. AB.自主探究例1 【答案】证明见解析【解析】证明：如图所示，在平面AB内作于点D. ∵平面平面PBC，且平面平面，∴平面PBC.又平面PBC，∴.∵平面ABC，平面ABC，∴.∵，∴平面PAB.跟踪训练一1.【答案】证明见解析.【解析】(1)如图所示,连接BD. 因为四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以△ABD是正三角形,因为G是AD的中点,所以BG⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD.所以BG⊥平面PAD.  (2)连接PG.因为△PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG⊂平面PBG,BG⊂平面PBG.所以AD⊥平面PBG.又因为PB⊂平面PBG,所以AD⊥PB.例2 【答案】（1）见解析（2）见解析. (3) .【解析】(1)证明:因为长方形ABCD中,BC∥AD,又BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:取CD的中点H,连接PH,因为PD=PC,所以PH⊥CD.又因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,所以PH⊥平面ABCD.又因为BC⊂平面ABCD,所以PH⊥BC.又因为长方形ABCD中,BC⊥CD,PH∩CD=H,所以BC⊥平面PDC.又因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:连接AC.由(2)知PH为三棱锥P-ADC的高.因为PH===,S△ADC=·AD·CD=×3×6=9,所以=·S△ADC·PH=×9×=3.由(2)知BC⊥PD,又因为AD∥BC,所以AD⊥PD,所以S△PDA=·PD·AD=×4×3=6.设点C到平面PDA的距离为h.因为=,所以·S△PDA·h=3,所以h===.跟踪训练二1、【答案】证明见解析【解析】证明:(1)在矩形ABCD中,因为AP=PB,DQ=QC,所以AP   CQ.所以AQCP为平行四边形.所以CP∥AQ.因为CP⊂平面CEP,AQ⊄平面CEP,所以AQ∥平面CEP.(2)因为EP⊥平面ABCD,AQ⊂平面ABCD,所以AQ⊥EP.因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形.所以AQ⊥DP.又EP∩DP=P,所以AQ⊥平面DEP.因为AQ⊂平面AEQ,所以平面AEQ⊥平面DEP.当堂检测 1-3. CAC4. 以AB为直径的圆(除去A,B两点).5．【答案】证明见解析.【解析】证明:(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC,又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因为CD⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.