2021学年1.1 空间向量及其运算精练

第一章　1.1　1.1.2

A级——基础过关练

1．设a，b，c是任意的非零向量，且它们互相不共线，则下列命题：

①(a·b)c－(c·a)b＝0；

②|a|－|b|＜|a－b|；

③(a·b)c－(c·a)b不与c垂直；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2．

其中正确的有(　　)

A．①② B．②③

C．③④ D．②④

【答案】D

【解析】对于①③，由于(a·b)c与(c·a)b是两个向量，前者与c共线，后者与b共线，方向任意，故不正确，②④正确．

2．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】A

【解析】如图，设＝b，＝c，＝d，则＝d－c，＝d－b，＝c－b，所以原式＝b·(d－c)＋d·(c－b)－c·(d－b)＝0．

3．在正四面体P－ABC中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则·的值为(　　)

A．－ B．

C．－ D．

【答案】D

【解析】如图，P－ABC为正四面体，

则∠APC＝∠BPC＝∠APB＝60°．因为D是棱AB中点，所以＝(＋)，所以·＝·(＋)＝·＋·＝×1×1×cos60°＋×1×1×cos60°＝．故选D．

4．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|等于(　　)

A．22 B．48

C．28 D．32

【答案】A

【解析】因为|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b，|a－b|2＝a2＋b2－2a·b，所以|a－b|2＝2(a2＋b2)－|a＋b|2＝2×(132＋192)－242＝484，所以|a－b|＝22．

5．设a，b，c为非零向量，则(a·b)·c(　　)

A．是三个向量的数量积 B．是与a共线的向量

C．是与c共线的向量 D．无意义

【答案】C

【解析】由a，b，c为非零向量可得a·b＝·cos〈a，b〉，显然a·b为数量，设为t，则(a·b)·c＝tc，即有(a·b)·c是与c共线的向量，故A，B，D均错误，C正确．故选C．

6．已知非零向量b在非零向量a方向上的投影为零，则向量a，b的关系是(　　)

A．a∥b B．a⊥b

C．a与b相交 D．a与b重合

【答案】B

【解析】非零向量b在非零向量a方向上的投影为|b|·cos〈a，b〉＝0，又因为b≠0，故|b|≠0．所以有cos〈a，b〉＝0，得〈a，b〉＝，故a⊥b．故选B．

7．(多选)(2021年邢台月考)下列关于数量积的运算正确的是(　　)

A．|a·b|＝|a|·|b| B．|a－b|＝

C．(a·b)·c＝a·(b·c) D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c

【答案】BD

【解析】对于A选项，|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|，故A错误；对于B选项，|a－b|＝＝，故B正确；对于C选项，(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故C错误；对于D选项，由数量积的运算律知(a＋b)·c＝a·c＋b·c，故D正确．故选BD．

8．如图，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，则线段PC的长为________．

【答案】7

【解析】因为PA⊥平面ABCD，AD，DC⊂平面ABCD，故PA⊥AD，PA⊥DC．又因为＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos120°＝61－12＝49，所以||＝7，即PC的长为7．

9．如图，在空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，则·＝________．

【答案】－

【解析】·＝·＝||||·cos〈，〉＝×1×1·cos120°＝－．

10．如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求：

 (1)(＋)·(＋)；

(2)|＋＋|．

解：(1)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1．

(2)|＋＋|＝

＝

＝

＝．

B级——能力提升练

11．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，若m⊥n，则λ＝(　　)

A．－1 B．－ 

C．－2 D．1

【答案】B

【解析】m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×3×4×cos135°＋3×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ．因为m⊥n，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－．

12．(多选)如图，在四面体A－BCD中，各棱长均为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)

A．2· B．2·

C．2· D．2·

【答案】BD

【解析】依题意，四面体A－BCD是正四面体，对于A，〈，〉＝120°，2·＝2a2cos120°＝－a2，A不是；对于B，〈，〉＝60°，2·＝2a2cos60°＝a2，B是；对于C，因为E，F是AB，AD的中点，则2＝，而〈，〉＝120°，2·＝·＝a2cos120°＝－a2，C不是；对于D，因为F，G是AD，DC的中点，则2＝，2·＝2＝a2，D是．故选BD．

13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面给出命题：

①|＋＋|2＝3||2；

②·(－)＝0；

③与的夹角为60°；

④此正方体体积为|··|．

其中错误命题的序号是__________．

【答案】③④

【解析】①因为|＋＋|＝||＝||，故①正确；②因为·(－)＝(＋＋)·(－)＝2＋·－·－2＝0，故②正确；③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°，但与的夹角为120°；④因为·＝0，故④错误，正确的应是||·||·||．

14．已知两个单位向量a，b的夹角为60°．

(1)若c＝λa＋b(λ∈R)，且b·c＝0，则λ的值为________；

(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为________．

【答案】(1)－2或3　(2)

【解析】(1) b·c＝λa·b＋b2＝λcos60°＋3－＝＝0，所以λ＝－2或λ＝3．

(2)向量a＋b在b方向上的投影数量为＝＝．

15．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝．设＝a，＝b，＝c．

(1)试用a，b，c表示向量，；

(2)若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求直线AC与BD1所成的角．

解：(1)由向量的加减运算法则知

＝＋＝a＋b，＝－＝b＋c－a．

(2)由题意知|a|＝|b|＝1，|c|＝，

〈a，b〉＝90°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝120°，

·＝(a＋b)·(b＋c－a)＝a·c－a2＋b2＋b·c＝1··cos120°－1＋1＋1·cos120°＝－－＝－．

因为||＝．

||＝

＝

＝＝＝2，

所以cos〈，〉＝＝＝－．所以〈，〉＝120°，

即AC与BD1所成的角为60°．