高中数学第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示课后测评

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第一章　1.3　1.3.1A级——基础过关练1．已知点A(－3，1，4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为(　　)A．(－3，－1，－4) B．(－3，－1，4)C．(3，1，4) D．(3，－1，－4)【答案】A【解析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标、竖坐标均互为相反数，所以A(－3，1，4)关于x轴的对称点坐标为(－3，－1，－4)．2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面Oyz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为(　　)A．(0，，0) B．(0，，)C．(1，0，) D．(1，，0)【答案】B【解析】由于垂足Q在Oyz平面内，可设Q(0，y，z)，因为直线PQ⊥Oyz平面，所以P，Q两点的纵坐标、竖坐标都相等．因为点P的坐标为(1，，)，所以y＝，z＝，可得Q(0，，)．3．在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知点B1(1，0，3)，D(0，2，0)，则点C1的坐标为(　　)A．(1，2，3) B．(1，3，2)C．(2，3，1) D．(3，2，1)【答案】A【解析】观察图形可知点C1的坐标为(1，2，3)．4．在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是(　　)A．(－1，－1，－1) B．(1，－1，1)C．(1，－1，－1) D．(－1，1，－1)【答案】C【解析】依据空间点的坐标定义可知，点A的坐标是(1，－1，－1)．5．如图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为(　　)A．(2，2，1) B．C． D．【答案】D【解析】因为EB⊥Oxy平面，而B(2，2，0)，故设E(2，2，z)．又因为|EB|＝2|EB1|，所以|BE|＝|BB1|＝，故点E的坐标为．6．(2021年绵阳月考)在空间直角坐标系中，已知点A(－1，1，3)，则点A关于xOz平面的对称点的坐标为(　　)A．(1，1，－3) B．(－1，－1，－3)C．(－1，1，－3) D．(－1，－1，3)【答案】D【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得点A(－1，1，3)关于xOz平面的对称点的坐标为(－1，－1，3)．故选D．7．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　)A．点B1的坐标为(4，5，3)B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)【答案】ACD【解析】根据题意知，点B1(4，5，3)，A正确；B(4，5，0)，C1(0，5，3)，故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，B错误；点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，C正确；点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，D正确．故选ACD．8．如图，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1与BO1的交点，则点M的坐标是________．【答案】【解析】因为OA＝2，AB＝3，AA1＝2，所以A(2，0，0)，A1(2，0，2)，B(2，3，0)，故B1(2，3，2)．所以点M的坐标为，即点M的坐标为．9．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在Ozx平面上的射影为点M′，则点M′关于原点对称点的坐标是________．【答案】(2，0，3)【解析】点M在Oxz平面上的射影为点M′(－2，0，－3)，所以点M′关于原点对称点的坐标为(2，0，3)．10．已知点P的坐标为(3，4，5)，试在空间直角坐标系中作出点P，并写出求解过程．解：如图，由P(3，4，5)可知点P在x轴上的射影为点A(3，0，0)，在y轴上的射影为点B(0，4，0)，以OA，OB为邻边的矩形OACB的顶点C是点P在Oxy坐标平面上的射影C(3，4，0)．过点C作直线垂直于Oxy坐标平面，并在此直线的Oxy平面上方截取5个单位长度，得到的点就是P．B级——能力提升练11．在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴对称的点在Ozx平面上的射影的坐标为(　　)A．(4，0，6) B．(－4，7，－6)C．(－4，0，－6) D．(－4，7，0)【答案】C【解析】点M关于y轴对称的点是M′(－4，7，－6)，点M′在Ozx平面上的射影的坐标为(－4，0，－6)．12．(多选)已知点M(x，y，z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则(　　)A．与点M关于x轴对称的点是(x，－y，－z)B．与点M关于原点对称的点是(－x，－y，－z)C．与点M关于xOy平面对称的点是(x，y，－z)D．与点M关于yOz平面对称的点是(x，－y，z)【答案】ABC【解析】与点M关于yOz平面对称的点是(－x，y，z)，D错误，A，B，C均正确．故选ABC．13．直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是________．【答案】(，－1，2)【解析】∵直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2，∴B(，1，0)，∴顶点B1的坐标是(，1，2)，则其关于平面xAz的对称点为(，－1，2)．14．在空间直角坐标系Oxyz中，z＝1的所有点构成的图形是________________；点P(2，3，5)到平面xOy的距离为________．【答案】过点(0，0，1)且与z轴垂直的平面　5【解析】z＝1表示一个平面，其与平面Oxy平行且距离为1，故z＝1的所有点构成的图形是过点(0，0，1)且与z轴垂直的平面．点P(2，3，5)到平面Oxy的距离与其横纵坐标无关，只与其竖坐标有关．由于平面Oxy的方程为z＝0，故点P(2，3，5)到平面Oxy的距离为|5－0|＝5．15．在空间直角坐标系中有一个点P(1，3，－2)，求：(1)点P关于坐标原点O的对称点P1的坐标；(2)点P关于x轴的对称点P2的坐标；(3)点P关于坐标平面Oyz的对称点P3的坐标．解：(1)设点P1的坐标为(x1，y1，z1)，因为点P和P1关于坐标原点O对称，所以O为线段PP1的中点．由中点坐标公式，得所以点P1的坐标为(－1，－3，2)．(2)设点P2的坐标为(x2，y2，z2)，因为点P和P2关于x轴对称，所以即则点P2的坐标为(1，－3，2)．(3)设点P3的坐标为(x3，y3，z3)，因为点P和P3关于平面yOz对称，所以即故点P3的坐标为(－1，3，－2)．