高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程随堂练习题

第二章　2.2　2.2.3

A级——基础过关练

1．(2020年大连月考)倾斜角为60°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)

A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0

C．x－3y－1＝0 D．x＋3y－1＝0

【答案】A　

【解析】由于直线的倾斜角为60°，故斜率为tan60°＝，由斜截式求得直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0．

2．若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝(　　)

A．1 B．3

C．4 D．2

【答案】D　

【解析】线段AB的中点为(1,1)，则m＋3－5＝0，即m＝2，故选D．

3．若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b的值为(　　)

A．6 B．2

C．－2 D．－6

【答案】A　

【解析】令y＝0，得x＝2；令x＝0，得y＝－4．所以a＝2，b＝－4，所以a－b＝6．

4．直线l过点(－1,2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)

A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0

【答案】A　

【解析】设所求直线方程为3x＋2y＋m＝0，代入点(－1,2)得3×(－1)＋2×2＋m＝0，所以m＝－1．故直线l的方程是3x＋2y－1＝0．

5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　)

【答案】C　

【解析】将l1与l2的方程化为斜截式得y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得C．

6．已知Rt△ABC的顶点C(0，－1)，斜边AB所在直线的方程为3x－2y＋1＝0，则AB边上的高所在直线的方程为(　　)

A．2x－3y＋3＝0 B．2x＋3y＋3＝0

C．3x＋2y＋3＝0 D．3x－2y＋3＝0

【答案】B　

【解析】由题意可得直线AB的斜率k＝，则所求直线方程的斜率k′＝－，直线的点斜式方程为y＋1＝－x，即2x＋3y＋3＝0．

7．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)

B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2

C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为60°

D．过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＝0

【答案】ABD　

【解析】y＝ax－3a＋2(a∈R)可化为y－2＝a(x－3)，则直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)，故A正确；令x＝0，则y＝－2，即直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；x＋y＋1＝0可化为y＝－x－1，则该直线的斜率为－，即倾斜角为120°，故C错误；设过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的斜率为k，因为直线x－2y＋3＝0的斜率为，所以k·＝－1，解得k＝－2，则过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0，故D正确．故选ABD．

8．在平面直角坐标系Oxy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为________．

【答案】4　

【解析】当a＝0时，l2：x＝0，显然与l1不平行；当a≠0时，由解得a＝4．

9．已知点P(－1,1)与点Q(3,5)关于直线l对称，则直线l的方程为____________．

【答案】x＋y－4＝0　

【解析】线段PQ的中点坐标为(1,3)，直线PQ的斜率kPQ＝1，所以直线l的斜率kl＝－1．所以直线l的方程为x＋y－4＝0．

10．求m，n的值，使直线l1：y＝(m－1)x－n＋7满足：

(1)平行于x轴；

(2)平行于直线l2：7x－y＋15＝0；

(3)垂直于直线l2：7x－y＋15＝0．

解：(1)当m＝1且n≠7时，l1平行于x轴．

(2)7x－y＋15＝0化为斜截式y＝7x＋15．

当l1∥l2时，m－1＝7且－n＋7≠15，

所以m＝8，n≠－8．

(3)当7(m－1)＝－1，即m＝，n∈R时，l1⊥l2．

B级——能力提升练

11．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为(　　)

A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0

C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0

【答案】A　

【解析】由题意得所以

所以直线方程为－5x＋y＋＝0，即15x－3y－7＝0．

12．(多选)(2021年襄阳联考)已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y＋a－2＝0，则(　　)

A．l2始终过定点

B．若l2在x轴和y轴上的截距相等，则a＝1

C．若l1⊥l2，则a＝0或a＝2

D．若l1∥l2，则a＝1或a＝－3

【答案】AC　

【解析】l2：ax－(2a－3)y＋a－2＝0化为a(x－2y＋1)＋3y－2＝0，由x－2y＋1＝0且3y－2＝0，解得x＝，y＝，即直线l2恒过定点，故A正确；若l2在x轴和y轴上截距相等，则l2过原点或其斜率为－1，则a＝2或－＝－1⇒a＝1，故B错误；若l1⊥l2，则1×a＋a×(3－2a)＝0，解得a＝0或2，故C正确；若l1∥l2，则先由1×(3－2a)＝a×a，解得a＝1或－3，再检验当a＝1时，l1，l2重合，故D错误．故选AC．

13．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是________．

【答案】3或5　

【解析】由两直线平行得，当k－3＝0时，两直线的方程分别为y＝－1与y＝，显然两直线平行，当k－3≠0时，由＝，得k＝5．综上所述，k的值是3或5．

14．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0，则直线l经过定点________；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______________．

【答案】(1，－3)　3x＋y＝0或x＋y＋2＝0

【解析】直线l的方程可写为a(x－1)＋x＋y＋2＝0，解方程组得∴直线l经过定点(1，－3)．当截距为0时，a＝2，直线l过原点，直线l的方程为3x＋y＝0．当截距不为0时，a＋1≠0，且a≠2．∵直线l在两坐标轴上的截距相等，∴＝a－2，∴a＋1＝1，∴a＝0．∴直线l的方程为x＋y＋2＝0．综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0．

15．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0．

(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．

(1)证明：将直线l的方程整理为y－＝a，

∴l的斜率为a，且过定点A．

而点A在第一象限，故l过第一象限．

∴不论a为何值，直线l总经过第一象限．

(2)解：如图，直线OA的斜率为k＝＝3．

∵l不经过第二象限，∴a≥3．