高中数学3.2 双曲线一课一练

第三章　3.2　3.2.1

A级——基础过关练

1．已知(2,0)是双曲线x2－＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝(　　)

A．1 B．

C． D．2

【答案】C

【解析】由题意知c＝2，a＝1，所以b＝＝．

2．已知F1(－8,3)，F2(2,3)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为(　　)

A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线

C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支和一条射线

【答案】D

【解析】易得|F1F2|＝10．当a＝3时，2a＝6，即2a＜|F1F2|，所以P点的轨迹为双曲线的一支(靠近点F2)．当a＝5时，2a＝10，即2a＝|F1F2|，此时P，F1，F2共线．所以P点的轨迹是以F2为起点的一条射线．

3．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)

A．11 B．9

C．5 D．3

【答案】B

【解析】因为||PF1|－|PF2||＝2a，所以|PF1|－|PF2|＝±6，所以|PF2|＝9或－3(舍去)．

4．已知动点P到点A(－5,0)的距离与它到点B(5,0)的距离之差等于6，则点P的轨迹方程是(　　)

A．－＝1 B．－＝1

C．－＝1(x≤3) D．－＝1(x≥3)

【答案】D

【解析】由题意知，动点P的轨迹应为以A(－5,0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支，由半焦距c＝5，实半轴长a＝3，知b2＝16，所以P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．故选D．

5．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是(　　)

A．±1 B．1

C．－1 D．不存在

【答案】A

【解析】当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3．对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．

6．已知点P(2，－3)是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是(　　)

A．x2－＝1 B．－＝1

C．－x2＝1 D．x2－＝1

【答案】A

【解析】由题意知c＝2，设该双曲线方程是－＝1，把点P(2，－3)代入，得－＝1，解得a2＝1或a2＝16(舍去)．所以该双曲线方程为x2－＝1．

7．(多选)已知双曲线的焦点在坐标轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为(　　)

A．－＝1 B．－＝1

C．－＝1 D．－＝1

【答案】BD

【解析】①当双曲线的焦点在y轴上时，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为－＝1．②当双曲线的焦点在x轴上时，且实半轴长为4，虚半轴长为5，可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为－＝1．故B，D正确．故选BD．

8．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为____________．

【答案】－y2＝1

【解析】由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由·＝0，得PF1⊥PF2．根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20．根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a．两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，所以双曲线方程为－y2＝1．

9．在平面直角坐标系Oxy中，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为__________．

【答案】(1,3)

【解析】将方程化为－＝1，若表示焦点在x轴上的双曲线，则有k－1＞0且3－k＞0，即1＜k＜3．

10．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程．

解：因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝，所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k．

由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4．

所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20．

以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．

设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，a＝2，a2＝4．

由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10．

所以b2＝c2－a2＝96，所以所求双曲线方程为－＝1．

B级——能力提升练

11．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．a＝4，经过点A1，－的双曲线的标准方程为－＝1,B．经过点(3,0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程为－＝1,C．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是－＝1,D．与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)的双曲线的标准方程为－＝1

【答案】ABD

【解析】对于A，当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b＞0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为－＝1，A正确．对于B，设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1，B正确．对于C，设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，则解得故双曲线的标准方程为－＝1，C错误．对于D，椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1，由题意知解得故双曲线的方程为－＝1，D正确．故选ABD．

12．(2021年泰安质检)椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则点P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为(　　)

A．48 B．24

C．24 D．12

【答案】B

【解析】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得所以或又因为|F1F2|＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°．所以△PF1F2的面积S＝|PF1||PF2|＝×6×8＝24．

13．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．

【答案】9

【解析】如图，设右焦点为F1(4,0)，依题意得|PF|＝|PF1|＋4，所以|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9．

14．若F1，F2是双曲线C：x2－＝1(y≠0)的左、右焦点，点P是双曲线C上一点，若|PF1|＝6，则|PF2|＝________，△PF1F2的面积S△PF1F2＝________．

【答案】8　24

【解析】根据双曲线的概念得||PF1|－|PF2||＝2a＝2，又因为|PF1|＝6，所以|PF2|＝4或|PF2|＝8．因为y≠0，而当P点落在x轴上时才会有|PF2|＝4，故舍掉，所以|PF2|＝8．因为△PF1F2是直角三角形，故S△PF1F2＝×6×8＝24．

15．已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．

解：设F(x，y)为轨迹上的任意一点，

因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，

所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，

所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，

所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2．

由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上，所以点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．