高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线课时练习

第三章　3.2　3.2.2

A级——基础过关练

1．双曲线－＝1的焦点坐标是(　　)

A．(±，0) B．(0，±)

C．(±7,0) D．(0，±7)

【答案】C

【解析】由题意可知c2＝16＋33＝49，所以c＝7．由双曲线方程可知焦点在x轴上．故选C．

2．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是(　　)

A．－＝1 B．－＝1

C．－＝1 D．－＝1

【答案】A

【解析】依题意设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，将点(2,2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1．

3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)

A．－ B．－4

C．4 D．

【答案】A

【解析】双曲线方程化为标准形式y2－＝1，则有a2＝1，b2＝－，由题设条件知2＝，所以m＝－．

4．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)

A．4 B．3

C．2 D．1

【答案】C

【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，对比3x±2y＝0得a＝2．

5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)

A．－＝1 B．－＝1

C．－y2＝1 D．x2－＝1

【答案】D

【解析】由双曲线的渐近线bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切可知＝，又因为c＝＝2，所以有a＝1，b＝，故双曲线的方程为x2－＝1．

6．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x B．y＝±x

C．y＝±x D．y＝±x

【答案】C

【解析】因为e＝＝，不妨设a＝4，c＝1，则b＝，所以对应双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．

7．(多选)已知双曲线9y2－4x2＝－36，则(　　)

A．该双曲线的实轴长为6 B．该双曲线的虚轴长为4

C．该双曲线的离心率为 D．该双曲线的渐近线方程为±x

【答案】ABCD

【解析】将9y2－4x2＝－36化为标准方程－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝，所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x．故选ABCD．

8．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是__________．

【答案】(－12,0)

【解析】双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又因为e∈(1,2)，则1＜＜2，解得－12＜k＜0．

9．双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为________．

【答案】90°

【解析】因为e＝＝，所以＝，即a＝b，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．∴所以双曲线两条渐近线的夹角为90°．

10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若斜率为1的直线与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积等于4，求直线l的方程．

解：(1)由已知得c＝2，e＝2，∴a＝1，b＝．

∴双曲线C方程为x2－＝1．

(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1y1)，N(x2，y2)．

联立得2x2－2mx－m2－3＝0，①

设MN中点为(x0，y0)，则x0＝＝，

y0＝x0＋m＝m，

∴线段MN的垂直平分线方程为

y－m＝－，即x＋y－2m＝0，

与坐标轴交点为(0,2m)，(2m,0)，

得|2m|·|2m|＝4，则m2＝2，即m＝±，

代入①得Δ＞0，所以l的方程为y＝x±．

B级——能力提升练

11．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)的双曲线的标准方程为－＝1

B．与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)的双曲线的标准方程为－＝1

C．过点(2,0)，与双曲线－＝1离心率相等的双曲线的标准方程为－y2＝1

D．与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为的双曲线的标准方程为－＝1

【答案】ABC

【解析】对于A，设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程，解得λ＝－32，因此所求双曲线的标准方程为－＝1，A正确．对于B，设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，λ＝－2，故所求双曲线的标准方程为－＝1，B正确．对于C，当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ＞0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去)，所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1，C正确．对于D，由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c＝3且焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为e＝＝，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1，D错误．故选ABC．

12．已知双曲线－＝1(b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在双曲线上，则·＝(　　)

A．0 B．1

C． D．2

【答案】A

【解析】由渐近线方程为y＝x知，＝1，所以b＝．因为点P(，y0)在双曲线上，所以y0＝±1．y0＝1时，P(，1)，F1(－2,0)，F2(2,0)，所以·＝0；y0＝－1时，P(，－1)，·＝0．

13．具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系．已知双曲线C1：－＝1与双曲线C2有共同的渐近线，双曲线C2的渐近线方程是__________；若双曲线C2还经过点M(，4)，则双曲线C2的离心率为__________．

【答案】y＝±x　2

【解析】C1：－＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C1，C2有共同的渐近线，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x．设双曲线C2的方程为－＝k(k≠0)，将点M(，4)代入得－＝k，解得k＝－5，所以双曲线C2的方程为－＝1，离心率e＝＝2．

14．如图，已知F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．

【答案】(1,2)

【解析】△ABE是等腰三角形，AE＝BE，所以只需∠AEB为锐角，所以∠AEF＜45°，所以＝AF＜FE＝a＋c，所以e2－e－2＜0，所以－1＜e＜2．又因为e＞1，所以1＜e＜2，所以e∈(1,2)．

15．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|．

(1)求双曲线C的离心率；

(2)若点B在第一象限，求证：∠BFA＝2∠BAF．

(1)解：设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，B．

∵|AF|＝|BF|，故＝a＋c，故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0．

∴e＝2．

(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0＞a，y0＞0．

∵e＝2，故c＝2a，b＝a．

故渐近线方程为y＝±x，

∴∠BAF∈，∠BFA∈．

又∵tan∠BFA＝－＝－，

tan∠BAF＝，

∴tan2∠BAF＝＝＝

＝

＝

＝

＝－＝tan∠BFA．

而2∠BAF∈，

故∠BFA＝2∠BAF．