2020-2021学年第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时复习练习题

第六章　6.1　第1课时　

A级——基础过关练

1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(　　)

A．24种 B．9种

C．3种 D．26种

【答案】B　【解析】不同的杂志本数为4＋3＋2＝9(种)，从其中任选一本阅读，共有9种选法．

2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是(　　)

A．1 B．3

C．6 D．9

【答案】D　【解析】这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9(个)不同的点．

3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)

A．30个 B．42个

C．36个 D．35个

【答案】C　【解析】要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6×6＝36(个)虚数．

4．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　　)

A．10种 B．20种

C．25种 D．32种

【答案】D　【解析】每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32(种)．

5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)

A．60 B．48

C．36 D．24

【答案】B　【解析】首先考虑6个表面，每个表面有其相对的长方形的4条边与之平行，还有该四边形有2条对角线与之平行，因此每个表面可以构造6个平行线面组，6个表面，就有6×6＝36(个)平行线面组．再考虑对角面，即体对角线是其对角线的矩形，这样的矩形有6个，每个矩形对应有2条边与之平行，因此一共有6×2＝12(个)平行线面组．相加得48.

6．已知a∈{2,4,6,8}，b∈{3,5,7,9}，能组成logab＞1的对数值有________个．

【答案】9　【解析】分四类，当a＝2时，b取3,5,7,9四种情况；当a＝4时，b取5,7,9三种情况；当a＝6时，b取7,9两种情况；当a＝8时，b取9一种情况，所以总共有4＋3＋2＋1＝10(种)，又log23＝log49，所以对数值有9个．

7．用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________．

【答案】328　【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，若个位数字为0，前两位的排法种数为9×8＝72；若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，所以排法种数为4×8×8＝256.所以可以组成256＋72＝328(个)没有重复数字的三位偶数．

8．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．

【答案】13　【解析】按照焊接点脱落的个数进行分类： 第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13(种)焊接点脱落的情况．

9．用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数．

解：分三类：第一类，千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3 210，共1个；第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321,4 320,4 310,4 210，共4个；第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432，5 431，5 430,5 421，5 420，5 410,5 321,5 320,5 310，5 210，共10个．由分类加法计数原理，得共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”．

10．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．

(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？

(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．

(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．

(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．

所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．

B级——能力提升练

11．由数字1,2,3,4可以组成有重复数字的三位奇数的个数为(　　)

A．12 B．24

C．48 D．32

【答案】D　【解析】依据分步乘法计数原理，由数字1,2,3,4组成有重复数字的三位奇数共有2×4×4＝32(个)．

12．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24 B．18

C．12 D．9

【答案】B　【解析】由题意可知E→F有6种走法，F→G有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6×3＝18(种)走法．

13．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法的种数有(　　)

A．81 B．64

C．14 D．12

【答案】B　【解析】对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步乘法计数原理知共有4×4×4＝64(种)放法．

14．定义集合A与B的运算A*B如下：

A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．

若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为(　　)

A．34 B．43

C．12 D．以上都不对

【答案】C　【解析】由分步乘法计数原理可知，A*B中有3×4＝12(个)元素．

15．圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3个点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________．

【答案】2n(n－1)　【解析】先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有(n－1)条，这(n－1)条直径都可以与该点形成直角三角形，即一个点可形成(n－1)个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共可形成2n(n－1)个符合条件的直角三角形．

16．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．

【答案】2 880　【解析】分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，共有4×3×2＝24(种)方法；第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2＝120(种)方法．所以安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种)．

17．某校高二共有三个班，各班人数如下表：

(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？

(2)从高二(1)班、(2)班男生中或从高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？

解：(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有3类不同的方案：

第1类，从高二(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；

第2类，从高二(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；

第3类，从高二(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．

(2)从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有3类不同的方案：

第1类，从高二(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；

第2类，从高二(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；

第3类，从高二(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．

根据分类加法计数原理知，从高二(1)班、(2)班男生或高二(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．

C级——探究创新练

18．标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．

(1)若取出的两个球的颜色不同，有多少种取法？

(2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法？

解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取1个，或A，C袋中各取1个，或B，C袋中各取1个，共有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)取法．

(2)若两个球颜色相同，则应在B袋中取出两个，或在C袋中取出两个，共有1＋3＝4(种)取法．