高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时课时作业

第六章　6.1　第2课时　

A级——基础过关练

1．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有(　　)

A．512个 B．192个

C．240个 D．108个

【答案】D　【解析】能被5整除的四位数，可分为两类：一类是末位为0，由分步乘法计数原理，共有5×4×3＝60(个)；二类是末位为5，由分步乘法计数原理共有4×4×3＝48(个)．由分类加法计数原理得60＋48＝108(个)．

2．有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有(　　)

A．8种 B．9种

C．10种 D．11种

【答案】B　【解析】设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d.若A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法．同理，若A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理，得监考方法共有3＋3＋3＝9(种)．

3．某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(　　)

A．9×8×7×6×5×4×3×2

B．8×96

C．9×106

D．8.1×106

【答案】D　【解析】电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时为9×106，∴可增加的电话数是9×106－9×105＝8.1×106.

4．若三角形三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b，c，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有(　　)

A．10个 B．14个

C．15个 D．21个

【答案】A　【解析】当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．

5．如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为(　　)

A．280 B．180

C．96 D．60

【答案】B　【解析】按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜色可选；第四步由于可重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)涂法．

6．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数，共有________个．

【答案】36　【解析】根据题意个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．

7．某班将元旦联欢会原定的9个歌唱节目已排成节目单，但在开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为________．

【答案】110　【解析】先将其中一个节目插入原节目单的9个节目形成的10个空中，有10种方法；再把另一个节目插入前10个节目形成的11个空中，有11种插法．由分步乘法计数原理知有10×11＝110(种)不同的插法．

8．古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________组．

【答案】60　【解析】分两类：第一类：由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6＝30(组)不同的结果．第二类也有30组不同的结果，共可得30＋30＝60(组)．

9．有一项活动，需在3名教师，8名男同学和5名女同学中选人参加．

(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？

(2)若需教师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？

(3)若需一名教师，一名学生参加，有多少种不同选法？

解：(1)有三类选人的方法：3名教师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知，共有3＋8＋5＝16(种)选法．

(2)分三步选人：第一步选教师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120(种)选法．

(3)可分两类，每一类又分两步．第一类：选一名教师再选一名男同学，有3×8＝24(种)选法；第二类：选一名教师再选一名女同学，共有3×5＝15(种)选法．由分类加法计数原理可知，共有24＋15＝39(种)选法．

10．将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数．

(1)可以排出多少个不同的三位数？

(2)各位数字互不相同的三位数有多少个？

(3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？

解：(1)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位．根据分步乘法计数原理知，可以排出6×6×6＝216(个)不同的三位数．

(2)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位．百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种，根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．

(3)两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，而每种都有6×5＝30(个)，故满足条件的三位数共有3×30＝90(个)．

B级——能力提升练

11．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有(　　)

A．6种 B．36种

C．63种 D．64种

【答案】C　【解析】每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63(种)可能情况．

12．从颜色分别为黄、白、红、橙的4盆菊花和颜色分别为紫、粉红、白的3盆山茶花中任取3盆，其中至少有菊花、山茶花各1盆，则不同的选法种数为(　　)

A．12 B．18

C．24 D．30

【答案】D　【解析】选出符合要求的3盆花可分为两类：第一类，可从4盆菊花中选1盆，再从3盆山茶花中选2盆，有4×3＝12(种)选法；第二类，可从4盆菊花中选2盆，再从3盆山茶花中选1盆，有6×3＝18(种)选法．根据分类加法计数原理知，不同的选法种数为12＋18＝30.

13．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱所有对角线的条数为(　　)

A．20 B．15

C．12 D．10

【答案】D　【解析】由题意知，正五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，所以从一个顶点出发的对角线有2条，所以正五棱柱所有对角线的条数为2×5＝10.

14．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有(　　)

A．18条 B．20条

C．25条 D．10条

【答案】A　【解析】第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．

15．现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有________种．

【答案】6　【解析】根据题意可以分为四种情况：如果左端的两个相邻的小正方形涂红色，则第三个涂黄色，第四个可以涂红色或黄色，第五个涂剩余的颜色，故有2种；同理右端的两个相邻的小正方形涂红色也有2种情况；如果第二、三个涂红色，则第一个涂黄色，第四个涂黄色，第五个涂红色，仅有一种情况，同理第三、四个涂红色，也有一种，故不同的涂法有6种．

16．成都市的出租车车牌号规定为“川A·T××××”的格式，其中后四位为数字，那么成都市最多可以有________辆出租车．

【答案】104　【解析】后面四位每一位都可以在0～9这10个数字中任选1个数，且可以重复，故一共可以组成10×10×10×10＝104(个)车牌号，即最多有104辆出租车．

17．在连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．

【答案】40　【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类有一条公共边的三角形有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边的三角形有8个，共有32＋8＝40(个)．

C级——探究创新练

18．用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．

(1)若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？

(2)若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值．

解：完成着色这件事，共分为四个步骤，可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数．

(1)为①区域着色时有6种方法，为②区域着色时有5种方法，为③区域着色时有4种方法，为④区域着色时有4种方法，依据分步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5×4×4＝480(种)．

(2)由题意知，为①区域着色时有n种方法，为②区域着色时有(n－1)种方法，为③区域着色时有(n－2)种方法，为④区域着色时有(n－3)种方法，由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n－1)(n－2)(n－3)．

∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，

∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0，

即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0.

∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去)．

∴n＝5(负值舍去)．