高中数学第六章 计数原理6.2 排列与组合当堂检测题

第六章　6.2.2　

A级——基础过关练

1．4·5·6·…·(n－1)·n等于(　　)

A．A B．A

C．n！－4! D．A

【答案】D　【解析】因为A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n(n－1)(n－2)·…·6·5·4.

2．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　)

A．20 B．16

C．10 D．6

【答案】B　【解析】不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16(种)选法．

3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)

A．3×3! B．3×(3！)3

C．(3！)4 D．9!

【答案】C　【解析】利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.故选C．

4．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有(　　)

A．6个 B．10个

C．12个 D．16个

【答案】C　【解析】符合题意的商有A＝4×3＝12(个)．

5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于(　　)

A．1 543 B．2 543

C．3 542 D．4 532

【答案】C　【解析】首位是1的四位数有A＝24(个)，首位是2的四位数有A＝24(个)，首位是3的四位数有A＝24(个)，由分类加法计数原理得，首位小于4的所有四位数共3×24＝72(个)．由此得a72＝3 542.

6．不等式A－n＜7的解集为________．

【答案】{3,4}　【解析】由不等式A－n＜7，得(n－1)(n－2)－n＜7，整理得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又因为n－1≥2且n∈N*，即n≥3且n∈N*，所以n＝3或n＝4，故不等式A－n＜7的解集为{3,4}．

7．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，则共有________种参赛方案．

【答案】240　【解析】方法一　从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有2A种参赛方案．由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A＋2A＝240(种)．

方法二　从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法．由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA＝240(种)．

方法三(间接法)　不考虑甲的约束，6个人占4个位置，有A种安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有2A种，所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A－2A＝240(种)．

8．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．

【答案】24　【解析】把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A＝4×3×2×1＝24(种)．

9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．

(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？

(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？

解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目、3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝14 400(种)．

(2)先不考虑排列要求，有A种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余4个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前4个节目要有舞蹈节目的排法有A－AA＝37 440(种)．

10．4个男同学，3个女同学站成一排．

(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？

(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？

解：(1)3个女同学是特殊元素，共有A种排法；由于3个女同学必须排在一起，则可视排好的女同学为一个整体，再与4个男同学排队，应有A种排法．由分步乘法计数原理得，有AA＝720(种)不同的排法．

(2)先将男同学排好，共有A种排法，再在这4个男同学的中间及两头的5个空当中插入3个女同学，则有A种方法．故符合条件的排法共有AA＝1 440(种)．

(3)先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有A种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有A种排法．所以共有AAA＝960(种)不同的排法．

B级——能力提升练

11．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)

A．24 B．48

C．60 D．72

【答案】D　【解析】第一步，先排个位，有A种选择；第二步，排前4位，有A种选择．由分步乘法计数原理，知有A·A＝72(个)．

12．世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共四名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少一人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的分配方法有(　　)

A．12种 B．10种

C．8种 D．6种

【答案】D　【解析】将甲、乙看作一个元素与另外两个组成三个元素，分配到三个展台，共有A＝6(种)不同的分配方法．

13．航天员在进行一项太空实验时，先后要实施6个程序，其中程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有(　　)

A．216种 B．288种

C．180种 D．144种

【答案】B　【解析】当B，C相邻，且与D不相邻时，有AAA＝144(种)方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时，有AA＝144(种)方法，故共有288种编排方法．

14．(多选)下列等式成立的是(　　)

A．A＝(n－2)A

B．A＝A

C．nA＝A

D．A＝A

【答案】ACD　【解析】A中右边＝(n－2)(n－1)n＝A；C中左边＝n(n－1)(n－2)×…×2＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝A；D中左边＝×＝＝A，只有B不正确．

15．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．

【答案】2 903 040　【解析】(插空法)8名学生的排列方法有A种，隔开了9个空位，在9个空位中排列2位老师，方法数为A，由分步乘法计数原理，总的排法总数为AA＝2 903 040.

16．在某艺术馆中展出5件艺术作品，其中不同的书法作品2件，不同的绘画作品2件，标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这5件作品的不同方案有________种．

【答案】24　【解析】把2件书法作品当作一个元素，与其他3件艺术品进行全排列，有2A＝48(种)方案．其中，2件绘画作品相邻，有2×2A＝24(种)方案，则该艺术馆展出这5件作品的不同方案有48－24＝24(种)．

17．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？

(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；

(2)2个唱歌节目互不相邻；

(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．

解：(1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1 440(种)排法．

(2)先排3个舞蹈节目、3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30 240(种)排法．

(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，故所求排法共有A·A·A＝2 880(种)排法．

C级——探究创新练

18．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：

(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？

(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？

解：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A·A＝1 800(种)．

(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A·A＝2 520(种)．