数学7.3 离散型随机变量的数字特征同步达标检测题

第7章　7.3.1

A级——基础过关练

1．已知某一随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝6.3，则a的值为(　　)

A．4 B．5

C．6 D．7

【答案】A　【解析】根据随机变量X的分布列可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝ab＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.

2．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b等于(　　)

A．0.2 B．0.1

C．－0.2 D．－0.4

【答案】C　【解析】由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.

3．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是(　　)

A．0.2 B．0.8

C．1 D．0

【答案】B　【解析】因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.

4．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＋b等于(　　)

A．10 B．5

C． D．

【答案】D　【解析】易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3①.又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1②.由①②得a＝，b＝0.所以a＋b＝.

5．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)等于(　　)

A． B．

C． D．1

【答案】A　【解析】X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝1×＋2×＝.

6．已知某一随机变量X的分布列如下表：

且E(X)＝6，则a＝________，b＝________.

【答案】0.3　6　【解析】由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.由E(X)＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，得b＝6.

7．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X的数学期望为________．

【答案】2.376　【解析】X的可能取值为3,2,1,0，P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P(X＝0)＝0.43＝0.064.所以E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.

8．某商场举行抽奖促销活动，抽奖的规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出1个球，记下颜色后放回，摸出1个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸1次，乙摸2次．令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额，则X的数学期望是________．

【答案】3.3　【解析】X的所有可能的取值为0,10,20,50,60.P(X＝0)＝3＝，P(X＝10)＝×2＋×2××＝，P(X＝20)＝×2××＝，P(X＝50)＝×＝，P(X＝60)＝＝.所以E(X)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝3.3.

9．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：

(1)抽取次数X的分布列；

(2)平均抽取多少次可取到好电池．

解：(1)由题意知，X取值为1,2,3.P(X＝1)＝；P(X＝2)＝×＝；P(X＝3)＝×＝.所以X的分布列为

(2)E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5，

即平均抽取1.5次可取到好电池．

10．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

解：(1)由已知，有P(A)＝＝.

所以事件A发生的概率为.

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

所以随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.

B级——能力提升练

11．已知随机变量X的分布列为

若Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B　【解析】由分布列的性质得＋＋m＝1，∴m＝.∴E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－. ∴E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝，∴a＝2.

12．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，设两人所选课程相同的门数为X，则E(X)＝(　　)

A．1 B．1.5

C．2 D．2.5

【答案】B　【解析】易知X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5.

13．船队若出海后天气好，可获利5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是(　　)

A．2 000元 B．2 200元

C．2 400元 D．2 600元

【答案】B　【解析】出海效益的均值为E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．

14．某篮球运动员罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分可以取的值是________，该篮球运动员在他参加的各场比赛中，罚球一次大约得________分．

【答案】0,1　0.7　【解析】随机变量可能取值为0,1，在该篮球运动员参加的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．

15．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.

【答案】706　【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为Y，则Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．

16．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.

(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.综上知，X的分布列为

故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．

C级——探究创新练

17．某大学准备在开学时举办一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表：

(1)从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；

(2)从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

解：(1)从20名学生随机选出3名的方法数为C，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为CCC＋CCC＋CCC＋CCC＝480，所以p＝＝.

(2)X可能的取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为

所以E(X)＝×0＋×1＋×2＋×3＝.