高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布课后练习题

第7章　7.5

A级——基础过关练

1．设随机变量Z服从标准正态分布Z～N(0,1)，且Z在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率分别为p1，p2，则p1和p2的大小关系为(　　)

A．p1＞p2　 B．p1＜p2

C．p1＝p2　 D．不确定

【答案】C　【解析】因为这是一个标准正态分布，标准正态曲线关于y轴对称，所以p1＝p2.

2．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.15，则P(0≤ξ≤1)等于(　　)

A．0.85 B．0.70

C．0.35 D．0.15

【答案】C　【解析】P(0≤ξ≤1)＝P(1≤ξ≤2)＝0.5－P(ξ＞2)＝0.35.

3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)且P(2≤X≤4)＝0.682 7，则P(X＞4)＝(　　)

A．0.158 8 B．0.158 65

C．0.158 6 D．0.158 55

【答案】B　【解析】P(X＞4)＝[1－P(2≤X≤4)]＝(1－0.682 7)＝0.158 65.

4．已知ξ～N(2，σ2)，P(ξ＜4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝(　　)

A．0.16 B．0.32

C．0.68 D．0.84

【答案】A　【解析】因为ξ～N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝1－P(ξ＜4)＝1－0.84＝0.16.

5．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　)

A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)

D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)

【答案】C　【解析】由正态分布的对称性及意义可知选C．

6．已知随机变量X服从正态分布X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.16，则P(2＜X≤3)＝________.

【答案】0.34　【解析】如图可知P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.16，

所以P(2＜X＜4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝1－0.16－0.16＝0.68，所以P(2＜X≤3)＝P(2＜X＜4)＝×0.68＝0.34.

7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布X～N(1，σ2)(σ＞0)．若X在(0,2)内取值的概率为0.8，则X在(1,2)内取值的概率为________．

【答案】0.4　【解析】由X～N(1，σ2)可知，密度函数关于x＝1对称，从而X在(0,1)内取值的概率就等于在(1,2)内取值的概率，∴X落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示．

8．若某一正态分布的均值和方差分别是2和3，则这一正态密度曲线的函数表达式为________．

【答案】f(x)＝e　【解析】由已知可得，μ＝2，σ2＝3，将它们代入f(x)＝e，便得所求函数表达式为f(x)＝e.

9．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0，求p0的值．

(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)

解：由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)≈0.954 5.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800＜X≤900)＝＋P(700＜X≤900)≈0.977 3.

10．某糖厂用自动打包机打包，每包质量X(单位：kg)服从正态分布N(100,1.22)，一公司从该糖厂进货1 500包，试估计质量在下列范围内的糖包数量：

(1)(100－1.2,100＋1.2)；

(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．

解：因为X～N(100,1.22)，所以μ＝100，σ＝1.2.

(1)由于随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.683，而该正态分布中，μ－σ＝100－1.2，μ＋σ＝100＋1.2.于是糖包质量位于区间(100－1.2,100＋1.2)内的概率为0.683.所以估计质量在(100－1.2，100＋1.2)范围内的糖包数量为1 500×0.683≈1 025(包)．

(2)由于随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率为0.997，而该正态分布中，μ－3σ＝100－3×1.2，μ＋3σ＝100＋3×1.2.于是糖包质量位于区间(100－3×1.2，100＋3×1.2)内的概率为0.997，所以估计质量在(100－3×1.2，100＋3×1.2)范围内的糖包数量为1 500×0.997≈1 496(包)．

B级——能力提升练

11．设随机变量ξ服从标准正态分布ξ～N(0,1)，已知P(ξ≤－1.96)＝0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝(　　)

A．0.025 B．0.050

C．0.950 D．0.975

【答案】C　【解析】P(|ξ|＜1.96)＝P(－1.96＜ξ＜1.96)＝1－P(ξ≥1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.

12．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)

A．2 386 B．2 718

C．3 414 D．4 772

【答案】C　【解析】根据正态分布的性质，P(0＜x＜1)＝P(－1＜x＜1)≈×0.682 7≈0.341 4，故落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 4＝3 414.

13．已知ξ～N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ＞2)等于(　　)

A．0.1 B．0.2

C．0.3 D．0.4

【答案】A　【解析】P(ξ＞2)＋P(0≤ξ≤2)＋P(－2≤ξ≤0)＋P(ξ＜－2)＝1，P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)，P(0≤ξ≤2)＝p(－2≤ξ≤0)，所以P(ξ＞2)＝×[1－2P(－2≤ξ≤0)]＝0.1.

14．某地区数学考试的成绩X服从参数为σ2＝64的正态分布，其正态分布密度函数图象如图所示，则成绩X位于区间(52,68)内的概率为(　　)

A．0.954 B．0.997

C．0.683 D．不确定

【答案】C　【解析】观察图中正态分布密度函数图象可知μ＝60.又σ2＝64，所以X服从正态分布N(60,82)．由于52＝60－8，68＝60＋8，则成绩X位于区间(52,68)内的概率为P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.683.

15．如图所示为两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象，则μ1______μ2，σ1______σ2(填“＜”“＞”或“＝”)．

【答案】＜　＞　【解析】根据图象关于直线x＝μ对称可知μ1＜μ2，又由σ(σ＞0)的大小决定图象的“胖瘦”，σ越小，图象越“高瘦”，可知σ1＞σ2.

16．某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命(单位：小时)为随机变量Y，已知Y～N(1 000,302)，要使灯管的平均寿命在1 000小时的概率为99.7%，则灯管的最低寿命应控制在________小时．

【答案】910　【解析】因为P(μ－3σ＜Y＜μ＋3σ)＝99.7%，又Y～N(1 000,302)，所以Y在(μ－3σ，μ＋3σ)即(910,1 090)内取值的概率为99.7%，故最低寿命应控制在910小时．

17．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)．

(1)若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品，求1 000 件这种零件中约有多少件一等品；

(2)质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.，试说明该厂生产的这批零件是否合格．

解：(1)P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682 7，

所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 7≈683(件)一等品．

(2)由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，

而5.7在(2.5,5.5)之外，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，所以可以认为该厂这批零件是不合格的．

C级——探究创新练

18．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得频率分布直方图如图所示．

(1)求这500件产品质量指标值的样本均值x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P(187.8≤Z≤212.2)；

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．

附：≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5.

解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8≤Z≤212.2)＝P(200－12.2≤Z≤200＋12.2)≈0.682 7.

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7，依题意知X～B(100,0.682 7)，所以E(X)＝100×0.682 7＝68.27.