高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列第1课时一课一练

第四章　4.3　4.3.1　第1课时

A级——基础过关练

1．等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝(　　)

A．　 B．－

C．2　 D．－2

【答案】C　【解析】∵等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴解得q＝2.

2．(2021年保定期末)设递增等比数列{an}的公比为q，且a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，则q＝(　　)

A．3　 B．1或3

C．2　 D．2或3

【答案】A　【解析】由数列{an}为等比数列，且a1＝3，3a1，2a2，a3成等差数列，得4a2＝3a1＋a3，即12q＝9＋3q2，∴q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3.又∵数列{an}是递增等比数列，∴q＝3.

3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≠1　 B．a≠0或a≠1

C．a≠0　 D．a≠0且a≠1

【答案】D　【解析】∵等比数列的每一项都不能为零，∴依题意得a≠0且a≠1.

4．(2021年成都期末)已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为(　　)

A．3　 B．－3

C．－ D．

【答案】D　【解析】因为等比数列{an}中，a2·a6＝9a4，a2＝1，所以由于q>0，所以解方程组得

5．(2022年哈尔滨四模)在等比数列{an}中，a1＝1，a3－a2＝2，则a5＝(　　)

A．16　 B．－1

C．－16或－1　 D．16或1

【答案】D　【解析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，若a1＝1，a3－a2＝2，则有q2－q＝2，解得q＝2或－1.若q＝2，则a5＝a1q4＝16；若q＝－1，则a5＝a1q4＝1.故a5＝16或1.

6．(多选)设{an}是等比数列，则下列结论中正确的是(　　)

A．若a1＝1，a5＝4，则a3＝2

B．若a1＋a3>0，则a2＋a4>0

C．若a2>a1，则a3>a2

D．若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2

【答案】AD　【解析】由等比数列的性质，可得a＝a1·a5＝4，由于奇数项的符号相同，可得a3＝2，因此A正确；若a1＋a3>0，则a2＋a4＝q(a1＋a3)，其正负由q确定，因此B不正确；若a2>a1，则a1(q－1)>0，于是a3－a2＝a1q(q－1)，其正负由q确定，因此C不正确；若a2>a1>0，则a1q>a1>0，可得a1>0，q>1，所以1＋q2>2q，则a1(1＋q2)>2a1q，即a1＋a3>2a2，因此D正确．故选AD．

7．(2022年白山期末)已知等比数列{an}的公比q为整数，且a1＋a4＝9，a2·a3＝8，则＝(　　)

A．2 B．3

C．－2 D．－3

【答案】A　【解析】因为等比数列{an}的公比q为整数，且a1＋a4＝9，a2·a3＝a1·a4＝8，所以a1＝1，a4＝8，所以q＝2，则＝＝q＝2.故选A．

8．已知等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，a1＋a3＝5，则a5的值为________．

【答案】16　【解析】设等比数列的公比为q，由题意可得a1＋a3＝＋2q＝5，整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.因为等比数列{an}为单调递增数列，则q>1，∴q＝2，因此a5＝a2q3＝2×23＝16.

9．在等比数列{an}中，a2＝，a3＝，则＝________．

【答案】　【解析】数列{an}的公比为q＝＝，故＝＝＝.

10．已知等比数列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.

解：设等比数列{an}的公比为q，

因为a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，

所以＝＝＝q＝，

故a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝a1＋a1＝36，

解得a1＝27，故an＝27×＝28－n.

令28－n＝＝2－1，解得n＝9.

B级——能力提升练

11．(多选)(2021年常州期末)已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝18，若a8＞b8且a9＞b9，则以下结论正确的有(　　)

A．a8＞a9 B．a8·a9＜0

C．b9＞b8 D．b10＜0

【答案】BD　【解析】因为等比数列{an}的公比q＝－，所以a8·a9＜0，B正确；设等差数列{bn}的公差为d，所以a1·＞18＋7d，a1·＞18＋8d，显然a1≠0，若a1＞0，则18＋7d＜0，即d＜0，所以b9－b8＝d＜0，b10＝18＋9d＝18＋7d＋2d＜0，a8＜a9.若a1＜0，则18＋8d＜0，即d＜0，所以b9－b8＝d＜0，b10＝18＋9d＝18＋8d＋d＜0，a8＞a9，所以A无法确定，C错误，D正确．故选BD．

12．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1且a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)

A．　　 B．

C．　 D．或

【答案】C　【解析】∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1.∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0.∵q＞0，∴q＝，∴＝＝＝＝.

13．(2022年凉山模拟)已知公差大于零的等差数列{an}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则的值是________．

【答案】　【解析】设数列{an}的公差为d，则有d>0.因为a2，a8，a12依次成等比数列，所以a＝a2·a12⇒(a1＋7d)2＝(a1＋d)(a1＋11d)⇒19d2＝－a1d.因为d>0，所以a1＝－19d，因此＝＝＝.

14．若x1，x2是函数f(x)＝x3－mx2＋nx(m>0，n>0)的两个不同的零点，且x1，x2，－3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则m＝________，n＝________．

【答案】　9　【解析】由题意，x1，x2为方程x2－mx＋n＝0的两根，x1＋x2＝m，x1x2＝n，由m>0，n>0得x1>0，x2>0，不妨设x1<x2，x1，x2，－3这三个数适当排列后可以成等差数列，则x1必是中间项，所以2x1＝x2－3.又x1，x2，－3这三个数适当排列后成等比数列，则－3必是中间项，所以x1·x2＝9，解得x1＝，x2＝6，所以m＝x1＋x2＝，n＝x1x2＝9.

15．(2021年上海期末)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

【答案】(1)证明：∵an＋1＝an＋(n∈N*)，∴＝＝＝＝，因此数列是等比数列．

(2)解：由于a1－＝－＝，∴数列是以为首项、为公比的等比数列，∴an－＝×＝，因此an＝＋.