北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用课后练习题

第一章　8

A　组·素养自测

一、选择题

1．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos 2t确定，则当t＝时，s1与s2的大小关系是(　C　)

A．s1>s2　　　　　 B．s1<s2

C．s1＝s2 D．不能确定

[解析]　当t＝时，s1＝5·sin＝5·sin＝－5.

s2＝10·cos＝－5，所以s1＝s2.

2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置，经过周期后，乙点的位置将移至(　D　)

A．甲　　 B．乙

C．丙 D．丁

[解析]　利用三角函数周期性的变化判断可知，选D．

3．某商品一年内每件出厂价在5万元基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价7万元，7月份达到最低价3万元，根据以上条件可以确定f(x)解析式是(　D　)

A．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)

B．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)

C．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)

D．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)

[解析]　由题意A＝＝2，

＝7－3＝4，T＝8，ω＝＝，

∴f(x)＝2sin＋5

由x＝3时，f(x)最大，×3＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

φ＝－＋2kπ，k∈Z，

∵|φ|<，∴φ＝－，

∴f(x)＝2sin＋5.

4．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为(　B　)

A．5 A B．2.5 A

C．2 A D．－5 A

[解析]　将t＝代入I＝5sin

得I＝2.5 A．

5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　D　)

A．[0,1] B．[1,7]

C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]

[解析]　由已知可得该函数的周期为T＝12，

ω＝＝，

又当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0,12]，

可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．

二、填空题

6．某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为 20.5 ℃.

[解析]　由题意得y＝23＋5cos，当x＝10时y＝20.5.

7.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过π s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是 y＝4sin (x≥0)(答案不唯一) .

[解析]　不妨设y＝Asin(ωx＋φ)．由题知A＝4，T＝π，所以ω＝＝2.当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动，所以有φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，故所求关系式可以为y＝4sin(x≥0)．

三、解答题

8．如图，它表示电流I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，在一个周期内的图象．

(1)试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

(2)在任意一段秒的时间内，电流I既能取得最大值A，又能取得最小值－A吗？

[解析]　(1)由题图知A＝，T＝2×＝，

∴ω＝＝，所以I＝sin，

又是该函数图象的第二零点，

∴×＋φ＝π，即φ＝，符合|φ|<，

∴I＝sin.

(2)不能．因为由(1)有T＝>，所以不可能．

9．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.

(1)求h与θ间的函数解析式；

(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？

[解析]　(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，

故B点坐标为

.

所以h＝5.6＋4.8sin.

(2)点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为.所以h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．

到达最高点时，h＝10.4 m.

由sin＝1，得t－＝＋2kπ，k∈N，

所以tmin＝30(s)．

即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．

B　组·素养提升

一、选择题

1．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为(秒)时的电流强度为(　A　)

A．0安培 B．－5安培

C．10安培 D．－10安培

[解析]　由图知，A＝10，函数的周期

T＝2＝，

所以ω＝＝＝100π，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为I＝10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0.

2．(2021·山西孝义高三模拟)如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周时用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是(　C　)

A．R＝6，ω＝，φ＝－

B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6

C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减

D．当t＝20时，|PA|＝6

[解析]　由题意，R＝＝6，T＝60＝，

∴ω＝.

由题意可知，当t＝0时，y＝－3即－3＝6sin φ.

∵|φ|<，∴φ＝－.故A正确；

f(t)＝6sin，

当t∈[35,55]时，t－∈，

∴点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确；

当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)先增后减，故C不正确；当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，故D正确．故选C．

3．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　BCD　)

A．该质点的运动周期为0.7 s

B．该质点的振幅为5

C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零

D．该质点的运动周期为0.8 s

[解析]　由题图可知，振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．综上，BCD正确．

4．(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是(　AB　)

A．该函数的周期是16

B．该函数图象的一条对称轴为直线x＝14

C．该函数的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14)

D．这一天的函数关系式也适用于第二天

[解析]　由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.

∵＝14－6，∴T＝16，A正确；

∵T＝，

∴ω＝，∴y＝10sin＋20.

∵图象经过点(14,30)，

∴30＝10sin＋20，

∴sin＝1，

∴φ可以取，∴y＝10sin＋20(0≤x≤24)，B正确，C错；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错．综上，AB正确．

二、填空题

5．如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天从0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为 h＝－6sint .

6．一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：

则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为 y＝4sin ，t∈[0，＋∞)(答案不唯一) .

[解析]　设y＝Asin(ωt＋φ)＋b，则A＝＝＝4.0，b＝＝0，ω＝＝＝，所以y＝4sin ，将(0.4,4.0)代入上式，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，取φ＝－，从而可知y＝4sin ，t∈[0，＋∞)．

三、解答题

7．已知某地一天4时～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4,16]．

(1)求该地区这一段时间内的最大温差；

(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？

[解析]　(1)由函数解析式易知，当x＝14时，函数取得最大值30，即最高温度为30 ℃，当x＝6时，函数取得最小值10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为20 ℃.

(2)令10sin ＋20＝15，得sin ＝－，

而x∈[4,16]，所以x＝.

令10sin ＋20＝25，得sin ＝，

而x∈[4,16]，所以x＝.

故该细菌能存活的最长时间为－＝(h)．