北师大版 (2019)必修 第二册5.1 向量的数量积同步达标检测题

第二章　5.1

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是(　A　)

A．钝角三角形　 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．任意三角形

[解析]　由a·b<0易知〈a，b〉为钝角．

2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是(　B　)

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

[解析]　A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B．

3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝(　C　)

A．2 B．4

C．6 D．12

[解析]　∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，

∴a2－a·b－6b2＝－72.

∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72.

∴|a|2－2|a|－24＝0.又∵|a|≥0，∴|a|＝6.

4．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，

即a·b＝－2a2，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝，故选C．

5．(多选)下列命题中正确的是(　ACD　)

A．对于任意向量a、b，有|a＋b|≤|a|＋|b|

B．(a·b)2＝a2·b2

C．对于任意向量a·b，有|a·b|≤|a||b|

D．若a、b共线，则a·b＝±|a||b|

[解析]　(a·b)2＝(|a||b|cos〈a，b〉)2＝a2·b2cos2〈a，b〉≤a2·b2，故B错误，A，C，D均正确．

6．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　D　)

A．外心 B．内心

C．重心 D．垂心

[解析]　由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．

同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．

二、填空题

7．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为  .

[解析]　由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0.整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝.

8．(2020·全国Ⅰ卷理)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝  .

[解析]　因为a，b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1，

所以|a＋b|＝＝＝＝1，解得2a·b＝－1，

所以|a－b|＝＝＝.

9．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|2a－b|＝ 2 .

[解析]　设向量b和a的夹角是α，

因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，

所以(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b

＝2－2cos α＝0，所以cos α＝，

所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b

＝8＋4－4××2×＝4，故|2a－b|＝2.

三、解答题

10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求|a＋b|.

[解析]　(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．将|a|＝4，|b|＝3代入上式求得a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.

(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.

B　组·素养提升

一、选择题

1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　B　)

A．－8 B．8

C．－8或8 D．6

[解析]　由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，sin θ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×＝8.

2．(2020·全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　A　)

A．(－2,6) B．(－6,2)

C．(－2,4) D．(－4,6)

[解析]　如图，

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1,3)，结合向量数量积的定义式，

可知·等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以·的取值范围是(－2,6)，

故选A．

3．已知△ABC中，若 2＝·＋·＋·，则△ABC是(　C　)

A．等边三角形 B．锐角三角形

C．直角三角形 D．钝角三角形

[解析]　解法1：由 2－·＝·＋·，

得·(－)＝·(－)，

即·＝·，∴·＋·＝0，

∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，

所以△ABC是直角三角形，故选C．

解法2：由条件得2＝·(＋)＋·

＝2＋·，

∴·＝0，∴⊥.

4．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则有(　BD　)

A．(a·b)c－(c·a)b＝0

B．|a|－|b|<|a－b|

C．(b·c)a－(c·a)b不与c垂直

D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2

[解析]　由于b，c不共线，因此(a·b)c不一定等于(c·a)b，只有在a⊥b且a⊥c时，等式才成立，故A错误；由三角形的三边关系知B正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，即(b·c)a－(c·a)b与c垂直，故C错；根据向量数量积的运算可知D正确．

二、填空题

5．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为 － .

[解析]　∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，

∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，

∴a·b＝－|b|2，

∴cos 〈a，b〉＝＝＝－.

6．如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝ － .

[解析]　·＝||||cos(180°－∠BAO)，

∵||cos(180°－∠BAO)＝－||cos ∠BAO

＝－||，

∴·＝－||2，

同理，·＝－||2，·＝－||2，

∴·＋·＋·＝－×(62＋72＋82)＝－.

三、解答题

7．已知|m|＝3，|n|＝5，(3m＋2n)·(2m－n)＝－2.

(1)求|m＋n|；

(2)求向量m在向量m＋n方向上的投影向量的长度．

[解析]　(1)∵(3m＋2n)·(2m－n)＝－2，

∴6m2＋m·n－2n2＝－2，

∵|m|＝3，|n|＝5，∴m·n＝－6.

∴|m＋n|＝

＝

＝.

(2)∵m·(m＋n)＝m2＋m·n＝9－6＝3，

∴向量m在向量m＋n上的投影向量的长度为＝＝.

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值．

[解析]　∵＝－，＝－＝－－，

∴·＝(－)·(－－)

＝(－·)＋·－2＋·

＝·－r2＋(－)

＝·－r2＋·

＝||||cos ∠BAC－r2＋·

＝bccos ∠BAC－r2＋·.

当与同向时，·的最大值为||||＝ra，

即当与共线且同向时，·有最大值bccos ∠BAC＋ar－r2.