北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第1课时一课一练

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第1课时一课一练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第二章　6.1 3 第一课时A　组·素养自测一、选择题1．在△ABC中，若＝，则角B等于(　B　)A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]　由正弦定理知＝，∵＝，∴sin B＝cos B，∵0°<B<180°，∴B＝45°.2．在△ABC中，b＝7，c＝5，B＝，则a的值为(　D　)A．3 B．4C．7 D．8[解析]　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，∴49＝a2＋25－5a，∴a2－5a－24＝0，∴a＝8或a＝－3(舍去)，∴a＝8.3．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是(　B　)A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形[解析]　由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又∵b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∵B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC是等边三角形．4．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　B　)A．75° B．60°C．45° D．30°[解析]　∵3＝×4×3sin C，∴sin C＝，∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B．5．在△ABC中，已知(b＋c)(a＋c)(a＋b)＝456，则sin Asin Bsin C等于(　B　)A．654 B．753C．357 D．456[解析]　∵(b＋c)(c＋a)(a＋b)＝456，∴＝＝.令＝＝＝k(k>0)，则，解得∴sin Asin Bsin C＝abc＝753.6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　C　)A．3 B．C． D．3[解析]　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，∴ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.二、填空题7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为  .[解析]　根据正弦定理有：sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，所以2sin Bsin C＝4sin Asin Bsin C，因为B，C∈(0，π)，所以sin B≠0，sin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝＝＝，所以bc＝，所以S＝bcsin A＝.8．在△ABC中，A＝60°，最大边长与最小边长是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为  .[解析]　∵A＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b、c.由条件可知，b＋c＝9，bc＝8，∴BC2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A＝92－2×8－2×8×cos 60°＝57，∴BC＝.9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C＝，若·＝，且a＋b＝9，则c＝ 6 .[解析]　因为·＝，所以abcos C＝，所以ab＝20，又因为a＋b＝9，所以a2＋2ab＋b2＝81，所以a2＋b2＝41，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝36，解得c＝6.三、解答题10．如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．[解析]　如图，连接BD，则四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsin A＋BC·CDsin C．因为A＋C＝180°，所以sin A＝sin C，所以S＝(AB·AD＋BC·CD)sin A＝(2×4＋6×4)sin A＝16sin A．在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A．在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos C＝52－48cos C．所以20－16cos A＝52－48cos C．因为cos C＝－cos A，所以64cos A＝－32，所以cos A＝－，又0°<A<180°，所以A＝120°，所以S＝16sin 120°＝8.B　组·素养提升一、选择题1．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为(　A　)A．2 B．－2C．4 D．－4[解析]　由题意，得S△ABC＝||·||·sin A＝×4×1×sin A＝，∴sin A＝，又∵A∈，∴cos A＝.∴·＝||·||·cos A＝4×1×＝2.2．在△ABC中，lga－lgb＝lgsin B＝－lg，∠B为锐角，则∠A的值是(　A　)A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]　由题意得＝sin B＝，又∵∠B为锐角，∴B＝45°，又＝＝，sin A＝sin B×＝，∴∠A＝30°.3．(多选)在△ABC中，周长为7.5 cm，且sin Asin Bsin C＝456，下列选项正确的是(　AC　)A．abc＝456B．abc＝2C．a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cmD．ABC＝456[解析]　由正弦定理知abc＝456，故A正确，B错，D错；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴C正确．4．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是(　B　)A．(8,10) B．(2，)C．(2，10) D．(，8)[解析]　若a是最大边，则∴3≤a<.若3是最大边，则∴2<a<3，∴2<a<.二、填空题5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为  .[解析]　本题考查正弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，由正弦定理可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即2a－2b＋ab＝b2＋c2－bc，将a＝2代入可得b2＋c2－bc＝4，所以4≥bc.当且仅当b＝c＝2时等号成立，所以S△ABC＝bcsin A，当角A＝60°时有最大值为.6．如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则cos A＝ 0 ，该圆的直径长度为 65 .[解析]　由余弦定理得BD2＝392＋522－2×39×52cos C，BD2＝252＋602－2×25×60cos A，∵A＋C＝180°，∴cos C＝－cos A，∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A＋2×25×60cos A＝0，∴cos A＝0.∵0°<A<180°，∴A＝90°，∴BD2＝392＋522＝652，∴BD＝65.三、解答题7．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.(1)若△ABC的面积等于，求a，b；(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．[解析]　(1)由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4，又∵△ABC的面积为，故absin C＝，得ab＝4.联立方程组得(2)∵sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，联立方程组得故△ABC的面积S＝absin C＝.8．如图所示，在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，AB＝2，BD＝2.(1)求∠ADB的大小；(2)若DC＝2，求四边形ABCD的面积．[解析]　(1)在△ABD中，由正弦定理得：＝，所以sin ∠ADB＝＝＝.因为A＝45°，所以0°<∠ADB<135°，所以∠ADB＝30°.(2)在△ABD中，∠ABD＝180°－30°－45°＝105°，sin 105°＝，所以S△ABD＝BA·BD·sin ∠ABD＝×2×2×＝＋1；在△BCD中，S△BCD＝DC·BD·sin ∠BDC＝×2×2×＝2.所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝3＋1．