北师大版 (2019)必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理第2课时课时作业

第二章　6.1 3 第二课时

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为(　D　)

A．10 km　 B． km

C．10 km D．10 km

[解析]　在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC＝100＋400－2×10×20cos 120°

＝100＋400－2×10×20×＝700，

∴AC＝10，即A、C两地的距离为10 km.

2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(　D　)

A．γ，c，α B．b，c，α

C．c，α，β D．b，α，γ

[解析]　本题中a、c、β这三个量不易直接测量，故选D．

3．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.

4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时(　C　)

A．5 n mlie B．5 n mlie

C．10 n mlie D．10 n mlie

[解析]　如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，

∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，

在Rt△ABC中，求得AB＝5，

∴这艘船的速度是＝10(n mlie/h)．

5．(多选)某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 km，那么x的值为(　AC　)

A． B．2

C．2 D．5

[解析]　本题考查余弦定理的应用．由题意得()2＝32＋x2－2×3xcos 30°，解得x＝或2，故选AC．

6．如图所示，从气球A上测得正前方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽BC的长为(　C　)

A．240(－1) m B．180(－1) m

C．120(－1) m D．30(＋1) m

[解析]　由题意知在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 m，∴AC＝120 m.

在△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，

由正弦定理得BC＝＝

＝120(－1)(m)．

二、填空题

7．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是  km.

[解析]　如图所示，由题意易知C＝45°，

由正弦定理得＝，从而AC＝×＝(km)．

8．一只蜘蛛沿正北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝  .

[解析]　如图，

由题意知，∠BAC＝75°，∠ACB＝45°，∠B＝60°，

由正弦定理，得＝，

∴x＝＝＝.

9．坡度为45°的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长 50(－) m.

[解析]　

如图，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°，

设CD＝x，所以(x＋DA)·tan 30°＝DA·tan 45°，

又DA＝BD·cos 45°＝100×＝50，

所以x＝－DA＝－50

＝50(－)m.

三、解答题

10.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度．

[解析]　设建筑物的高度为h，由题图知，

PA＝2h，PB＝h，PC＝h，

∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得

cos ∠PBA＝，①

cos ∠PBC＝.②

∵∠PBA＋∠PBC＝180°，

∴cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0.③

由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.

B　组·素养提升

一、选择题

1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 km，则A、B两船的距离为(　D　)

A．2 km B．3 km

C． km D． km

[解析]　如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，

AC＝2，BC＝，

∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 150°＝13，

∴AB＝(km)．

2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　A　)

A． n mile/h B．34 n mile/h

C． n mile/h D．34 n mile/h

[解析]　如图所示，在△PMN中，＝，

∴MN＝＝34，∴v＝＝(n mile/h)．

3．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B点处看山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(　B　)

A．11.4 km B．6.6 km

C．6.5 km D．5.6 km

[解析]　本题考查正弦定理的实际应用．

∵AB＝1 000×＝(km)，

∴BC＝·sin 30°＝(km)．

∴航线离山顶的距离为×sin 75°＝×≈11．4(km)．

∴山顶的海拔为18－11．4＝6.6(km)．故选B．

4．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　D　)

A．500 m B．200 m

C．1 000 m D．1 000 m

[解析]　∵∠SAB＝45°－30°＝15°，

∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，

在△ABS中，AB＝＝

＝1 000，

∴BC＝AB·sin 45°＝1 000×＝1 000(m)．

二、填空题

5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10 n mile，20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过  min，海盗船到达商船．

[解析]　如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20 min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得

cos ∠ADC＝＝＝.

∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，

∠BAD＝60°－30°＝30°，

∴BD＝AD＝20，×60＝(min)．

6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝ 150  m .

[解析]　如图，

在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝100.

在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，

∴∠AMC＝45°.

由正弦定理知＝，∴AM＝100.

在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，

∴MN＝AM·sin 60°＝100×＝150(m)．

三、解答题

7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α的值．

[解析]　(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.

由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.

所以渔船甲的速度为＝14 n mile/h.

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，

由正弦定理，得＝.

即sin α＝＝＝.

8.如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6 km的速度步行了1 min后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.

(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；

(2)求塔的高AB．(结果保留根号，不求近似值)

[解析]　(1)依据题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6 000×＝100(m)，

∠BDC＝45°－30°＝15°，

由正弦定理，得＝，

∴BC＝＝＝

＝＝50(－1)(m)，

在Rt△ABE中，tan α＝，

∵AB为定长，当BE的长最小时，α取最大值60°，

这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos ∠BCE＝50(－1)·＝25(3－)(m)，

设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t min，则t＝×60＝×60＝(min)．

(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin ∠BCD，

所以AB＝BE·tan 60°＝BC·sin ∠BCD·tan 60°＝50(－1)××＝25(3－)(m)，即所求塔高为25(3－) m.