数学必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识巩固练习

第六章　3.1 3.2

A　组·素养自测

一、选择题

1．如图所示，下列符号表示错误的是(　A　)

A．l∈α　　　 B．Pl　　　

C．l⊂α　　　 D．P∈α

[解析]　观察图知：Pl，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．

2．下面四个说法(其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面)：

①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；

②∵A∈α，Bα，∴ABα；

③∵Aa，a⊂α，∴Aα；

④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α.

其中表述方式和推理都正确的结论的序号是(　C　)

A．①④ B．②③

C．④ D．③

[解析]　①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为ABα；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．

3．(多选)空间不共线的四点，可以确定平面的个数可能是(　BD　)

A．0 B．1

C．2 D．4

[解析]　若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点，可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4.故空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4个．故选BD．

4．如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β且Cl，AB∩l＝R，设过A、B、C三点的平面为γ，则β∩γ等于 (　C　)

A．直线AC

B．直线BC

C．直线CR

D．以上都不对

[解析]　由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.

5．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　B　)

A．A，B，C，D四点中必有三点共线

B．A，B，C，D四点中不存在三点共线

C．直线AB与CD相交

D．直线AB与CD平行

[解析]　两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．

6．下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　D　)

[解析]　在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P、Q、R、S共面，故选D．

二、填空题

7．平面α，β的公共点多于两个则

①α，β平行；

②α，β至少有一条公共直线；

③α，β至少有三个公共点；

④α，β至多有一条公共直线．

以上四个判断中成立的是 ②③ .

[解析]　由条件知，当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．

8．看图填空：

(1)AC∩BD＝ O ；

(2)平面AB1∩平面A1C1＝ A1B1 ；

(3)平面A1C1CA∩平面AC＝ AC ；

(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝ OO1 .

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是 (2)(3)(4) (填序号)．

(1)直线AC1在平面CC1B1B内．

(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．

(3)由A，C1，B1确定的平面是ADC1B1．

(4)由A，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一个平面．

[解析]　(1)错误．如图所示，点A平面CC1B1B，所以直线AC1平面CC1B1B．

(2)正确．如图所示．

因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．

(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，

所以四边形AB1C1D是平行四边形，

所以A，B1，C1，D共面．

三、解答题

10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由．

[解析]　如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，

因为D1F与DA不平行，

因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD．

又因为D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ACD，

所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD．

所以P∈(平面BED1F∩平面ABCD)，

即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．

又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，

所以连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线．

B　组·素养提升

一、选择题

1．空间中四点可确定的平面有(　D　)

A．1个 B．3个

C．4个 D．1个或4个或无数个

[解析]　当四个点在同一条直线上时，经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时，可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时，确定一个平面；当其中三点共线于l，另一点不在直线l上时，也确定一个平面，故选D．

2．(多选)设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个结论，其中正确的结论是(　CD　)

A．P∈a，P∈α⇒a⊂α

B．a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β

C．a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α

D．α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

[解析]　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但aα，

∴A错；

a∩β＝P时，B错；如图∵a∥b，P∈b，∴Pa，∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故C正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故D正确，故选CD．

3．经过同一直线上的3个点的平面(　C　)

A．有且只有1个 B．有且只有3个

C．有无数个 D．只有0个

[解析]　因3个点在同一条直线，所以经过该直线的平面都满足条件，故选C．

4．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　ABC　)

A．C1，M，O三点共线

B．C1，M，O，C四点共面

C．C1，O，A，M四点共面

D．D1，D，O，M四点共面

[解析]　连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，

A1C∩平面C1BD＝M，所以三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A 1的交线上，即C1，M，O三点共线，所以选项A，B，C均正确，D不正确．

二、填空题

5．若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O、C、D三点的位置关系是 共线 .

[解析]　∵AC∥BD，

∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD．

∵l∩α＝O，∴O∈α.

又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O、C、D三点共线．

6．给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确结论的个数是 0 .

[解析]　如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AD与A′B′都与直线AA′相交，但是直线AD与A′B′不在同一平面内，故①错误；在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AB，AD，AA′两两相交，但是这三条直线不在同一平面内，故②错误；当两个平面相交时，两个平面可有无数个公共点，只有当两个平面有三个不共线的公共点时，两个平面才重合，故③错误；两两平行的三条直线也可能在同一平面内，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.

三、解答题

7.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.

(1)画出直线l的位置；

(2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．

[解析]　(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．

(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，

∴AD＝A1E＝A1D1＝a.

∵A1P∥D1N，且D1N＝a，∴A1P＝D1N＝a，

于是PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a.

8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

[解析]　(1)分别连接EF，A1B，D1C，

∵E，F分别是AB和AA1的中点，

∴EF∥A1B且EF＝A1B．

又∵A1D1綊B1C1綊BC，

∴四边形A1D1CB是平行四边形，

∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1．

EF与CD1确定一个平面．

∴E，F，D1，C四点共面．

(2)∵EF綊CD1，

∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P，

∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D．

又CE⊂平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD，

即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．

而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直线AD，

∴P∈直线AD(公理3)，∴直线CE，D1F，DA三线共点．