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数学必修 第一册1.1 集合的概念与表示第2课时精练
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这是一份数学必修 第一册1.1 集合的概念与表示第2课时精练,共5页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
A 组·素养自测
一、选择题
1.用列举法表示集合{x|x2-3x+2=0}为( C )
A.{(1,2)} B.{(2,1)}
C.{1,2} D.{x2-3x+2=0}
[解析] 解方程x2-3x+2=0得x=1或x=2.用列举法表示为{1,2}.
2.直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为( B )
A.{0,1} B.{(0,1)}
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),0)) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),0))))
[解析] 解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=2x+1,,x=0,))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=0,,y=1.))
故该集合为{(0,1)}.
3.已知x∈N,则方程x2+x-2=0的解集为( C )
A.{x|x=2}B.{x|x=1或x=-2}
C.{x|x=1}D.{1,-2}
[解析] 方程x2+x-2=0的解为x=1或x=-2.由于x∈N,所以x=-2舍去.故选C.
4.若A={-1,3},则可用列举法将集合{(x,y)|x∈A,y∈A}表示为( D )
A.{(-1,3)}
B.{-1,3}
C.{(-1,3),(3,-1)}
D.{(-1,3),(3,3),(-1,-1),(3,-1)}
[解析] 因为集合{(x,y)|x∈A,y∈A}是点集或数对构成的集合,其中x,y均属于集合A,所以用列举法可表示为{(-1,3),(3,3),(-1,-1),(3,-1)}.
5.下列集合中,不同于另外三个集合的是( B )
A.{x|x=1} B.{x|x2=1}
C.{1} D.{y|(y-1)2=0}
[解析] 因为{x|x=1}={1},{x|x2=1}={-1,1},{y|(y-1)2=0}={1},所以B选项的集合不同于另外三个集合.
6.下列说法:①集合{x∈N|x3=x}用列举法可表示为{-1,0,1};②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R};③一次函数y=x+2和y=-2x+8的图象交点组成的集合为{x=2,y=4},正确的个数为( D )
A.3 B.2
C.1 D.0
[解析] 由x3=x,得x(x-1)(x+1)=0,解得x=0或x=1或x=-1.因为-1∉N,故集合{x∈N|x3=x}用列举法可表示为{0,1},故①不正确.集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义,而“R”表示所有的实数组成的集合,故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R,故②不正确.联立方程组可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=x+2,,y=-2x+8,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=2,,y=4,))∴一次函数与y=-2x+8的图象交点为(2,4),∴所求集合为{(x;y)|x=2且y=4},故③不正确.
二、填空题
7.已知A={(x,y)|x+y=4,x∈N,y∈N},用列举法表示A为__{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}__.
[解析] ∵x+y=4,x∈N,y∈N,
∴x=4-y∈N,
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=0,,y=4,))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=1,,y=3,))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=2,,y=2,))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=3,,y=1,))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=4,,y=0.))
∴A={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.
8.集合{1,eq \r(2),eq \r(3),2,eq \r(5),…}用描述法表示为__{x|x=eq \r(n),n∈N*}__.
[解析] 注意到集合中的元素的特征为eq \r(n),且n∈N*,所以用描述法可表示为{x|x=eq \r(n),n∈N*}.
9.已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是__(-∞,-2]__.
[解析] 因为1∉A,则应有2×1+a≤0,
所以(-∞,-2].
三、解答题
10.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x-3y=14,3x+2y=8)),的解集;
(2)方程x2-2x+1=0的实数根组成的集合;
(3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合;
(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合;
(5)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
[解析] (1)解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x-3y=14,,3x+2y=8,))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=4,,y=-2,))故解集可用描述法表示为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1((x,y)\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=4,y=-2)),)))),也可用列举法表示为{(4,-2)}.
(2)方程x2-2x+1=0的实数根为1,因此可用列举法表示为{1},也可用描述法表示为{x|x2-2x+1=0}.
(3)集合的代表元素是点,可用描述法表示为{(x,y)|x<0且y>0}.
(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合中,代表元素为点,可用描述法表示为{(x,y)|y=x2+2x-10}.
(5)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中,代表元素为y,是实数,可用描述法表示为{y|y=x2+2x-10}.
B 组·素养提升
一、选择题
1.方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-y=2,,x+2y=-1))的解集是( C )
A.{x=1,y=-1} B.{1}
C.{(1,-1)} D.{(x,y)|(1,-1)}
[解析] 方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除A,B,而D的集合表示方法有误,排除D.
2.用列举法可将集合{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}表示为( D )
A.{1,2}
B.{(1,2)}
C.{(1,1),(2,2)}
D.{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
[解析] x=1,y=1;x=1,y=2;x=2,y=1;x=2,y=2.
∴集合{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}表示为{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},故选D.
3.(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为( BD )
A.{x|x=2k-1,k∈N}B.{x|x=2k+1,k∈N,k≥2}
C.{x|x=2k+3,k∈N}D.{x|x=2k+5,k∈N}
[解析] 选项A,C中,集合内的最小奇数不大于4.
4.(多选题)下列各组中M,P表示不同集合的是( ABD )
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
B.M={(3,1)},P={(1,3)}
C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R}
D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}
[解析] 选项A中,M是由3,-1两个元素构成的集合,而集合P是由点(3,-1)构成的集合;选项B中,(3,1)与(1,3)表示不同的点,故M≠P;选项D中,M是二次函数y=x2-1,x∈R的所有因变量组成的集合,而集合P是二次函数y=x2-1,x∈R图象上所有点组成的集合.故选ABD.
二、填空题
5.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有一个元素,则实数a的值是__0或1__.
[解析] 集合A中只有一个元素,有两种情况:当a≠0时,由Δ=0,解得a=1,此时A={-1},满足题意;
当a=0时,x=-eq \f(1,2),此时A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2))),满足题意.
故集合A中只有一个元素时,a的值是0或1.
6.设A,B为两个实数集,定义集合A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={2,3},则集合A+B中元素的个数为__4__.
[解析] 当x1=1时,x1+x2=1+2=3或x1+x2=1+3=4;当x1=2时,x1+x2=2+2=4或x1+x2=2+3=5;当x1=3时,x1+x2=3+2=5或x1+x2=3+3=6.
∴A+B={3,4,5,6},共4个元素.
三、解答题
7.已知集合A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(8,6-x)∈N)))),试用列举法表示集合A.
[解析] 由题意可知6-x是8的正约数,当6-x=1时,x=5;当6-x=2时,x=4;当6-x=4时,x=2;当6-x=8时,x=-2,而x≥0,∴x=2,4,5,即A={2,4,5}.
8.已知集合A={x|ax2-3x+2=0}.
(1)若A中只有一个元素,求集合A;
(2)若A中至少有一个元素,求a的取值范围.
[解析] (1)因为集合A是方程ax2-3x+2=0的解集,则当a=0时,A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))),符合题意;
当a≠0时,方程ax2-3x+2=0应有两个相等的实数根,
则Δ=9-8a=0,解得a=eq \f(9,8),此时A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3))),符合题意.
综上所述,当a=0时,A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))),当a=eq \f(9,8)时,A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3))).
(2)由(1)可知,当a=0时,A=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))符合题意;
当a≠0时,要使方程ax2-3x+2=0有实数根,
则Δ=9-8a≥0,解得a≤eq \f(9,8)且a≠0.
综上所述,若集合A中至少有一个元素,则a≤eq \f(9,8).
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