高中北师大版 (2019)3 函数的单调性和最值第1课时当堂检测题

这是一份高中北师大版 (2019)3 函数的单调性和最值第1课时当堂检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A 组·素养自测
一、选择题
1．如图中是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上不单调
[解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．
2．函数y＝eq \f(1,x－1)的单调减区间是( A )
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1} D．R
[解析] 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表述不当．
3．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋1，x≥0，,－x2，x＜0))的单调递增区间为( A )
A．(－∞，0)，[0，＋∞) B．(－∞，0)
C．[0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
[解析] 分段函数求单调区间可借助图象来求，图象不熟悉就借助定义分段求．
4．若函数f(x)＝|x＋2|在[－4，0]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 作出函数f(x)＝|x＋2|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2(－2≤x≤0)，,－x－2(－4≤x＜－2)))的图象如图所示，
由图象可知M＝f(x)max＝f(0)＝f(－4)＝2，m＝f(x)min＝f(－2)＝0，所以M＋m＝2．故选B．
5．若函数y＝2ax－b在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( C )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0
[解析] 当a＞0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a≤0时，最大值为2a－b，最小值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1．
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( C )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
∴f(x)在[0，1]上单调递增．
又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1．
二、填空题
7．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是__(－∞，1)和(1，＋∞)__．
[解析] 由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．
8．函数f(x)＝x－eq \f(2,x)在[1，2]上的最大值是__1__．
[解析] 函数f(x)＝x－eq \f(2,x)在[1，2]上是增函数，∴当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝2－1＝1．
三、解答题
9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
[解析] y＝－x2＋2|x|＋3
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3(x≥0)，,－x2－2x＋3(x＜0)))
＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－(x－1)2＋4(x≥0)，,－(x＋1)2＋4(x＜0).))
函数图象如图，
由图象可知，在(－∞，－1)和[0，1]上，函数是增函数，
在[－1，0]和(1，＋∞)上，函数是减函数．
10．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))的最大值．
[解析] f(x)＝|x|(x＋1)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2－x(x≤0),x2＋x(x＞0)))的图象如图所示．
(1)f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))和[0，＋∞)上是增函数，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))上是减函数，
因此f(x)的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))，[0，＋∞)，单调减区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))．
(2)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(3,4)，∴f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))的最大值为eq \f(3,4)．
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列函数在[1，4]上最大值为3的是( A )
A．y＝eq \f(1,x)＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
[解析] B、C在[1，4]上均为增函数，A、D在[1，4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A．
2．随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系．当x＝36kPa时，y＝108g/m3，则y与x的函数关系式为( A )
A．y＝3x(x≥0) B．y＝3x
C．y＝eq \f(1,3)x(x≥0) D．y＝eq \f(1,3)x
[解析] 由题意设y＝kx，将(36，108)代入解析式，得k＝3，故y＝3x．同时考虑到实际问题的实际意义可知x≥0．
3．(多选题)已知f(x)＝eq \r(x)－eq \r(1－x)，则( AD )
A．定义域为[0，1]B．f(x)max＝eq \r(2)，f(x)无最小值
C．f(x)min＝1, f(x)无最大值D．f(x)max＝1, f(x)min＝－1
[解析] 要使f(x)有意义，应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0,1－x≥0))，∴0≤x≤1，显然f(x)在[0，1]上单调递增，所f(x)max＝1，f(x)min＝－1．故选AD．
4．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( BCD )
A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2，3]上有最小值，最大值5
D．当0＜a＜1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)，当a＞1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
[解析] 函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1．在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)＞f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0＜a＜1时，f(x)在区间[0，a]上是减函数，f(x)的最小值为f(a)，当a＞1时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确．
二、填空题
5．函数y＝x2－2x－1的值域是__[－2，＋∞)__．
[解析] 因为二次函数图象开口向上，所以它的最小值为eq \f(4×1×(－1)－(－2)2,4)＝－2．故值域为[－2，＋∞)．
6．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2)
__≤__f(x2－4x＋6)．(填“≥”“≤”或“＝”)
[解析] ∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，且f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)≤f(x2－4x＋6)．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝eq \f(x,x－1)．
(1)求f(x)的定义域和值域；
(2)判断函数f(x)在区间(2，5)上的单调性，并用定义来证明所得结论．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(x,x－1)＝eq \f(x－1＋1,x－1)＝1＋eq \f(1,x－1)，
定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}．
(2)由函数解析式可知该函数在(2，5)上是减函数，下面证明此结论．
证明：任取x1，x2∈(2，5)，
设x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,x1－1)－eq \f(x2,x2－1)＝eq \f(x2－x1,(x1－1)(x2－1))．
因为2＜x1＜x2＜5，
所以x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0，
所以f(x1)＞f(x2)．
故函数在(2，5)上为减函数．
8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(－1，3)，且关于直线x＝1对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若m＜3，求函数f(x)在区间[m，3]上的值域．
[解析] (1)因为函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象过点(－1，3)且关于直线x＝1对称，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f(－1)＝1－b＋c＝3,－\f(b,2)＝1))，
解得b＝－2，c＝0．所以f(x)＝x2－2x．
(2)当1≤m＜3时，f(x)min＝f(m)＝m2－2m，f(x)max＝f(3)＝9－6＝3，
所以f(x)的值域为[m2－2m，3]；
当－1≤m＜1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1，f(x)max＝f(3)＝3，
所以f(x)的值域为[－1，3]．
当m＜－1时，f(x)min＝f(1)＝1－2＝－1，f(x)max＝f(m)＝m2－2m，
所以f(x)的值域为[－1，m2－2m]．
综上当1≤m＜3时，f(x)的值域为[m2－2m，3]；当－1≤m＜1时，f(x)的值域为[－1，3]；当m＜－1时，f(x)的值域为[－1，m2－2m]．