北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数2 指数幂的运算性质课时练习

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数2 指数幂的运算性质课时练习，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A 组·素养自测
一、选择题
1．化简[eq \r(3,(－5)2)]eq \s\up6(\f(3,4))的结果为( B )
A．5 B．eq \r(5)
C．－eq \r(5) D．－5
[解析] 原式＝(eq \r(3,52)) eq \s\up4(\f(3,4)) ＝(5 eq \s\up4(\f(2,3)) ) eq \s\up4(\f(3,4)) ＝5 eq \s\up4(\f(2,3)) × eq \s\up4(\f(3,4)) ＝5eq \s\up6(\f(1,2))＝eq \r(5)．
2．(eq \r(x\s\up6(\f(1,3))·\r(3,x－2)))－ eq \s\up4(\f(8,5)) 化成分数指数幂为( B )
A．x－ eq \s\up4(\f(1,3)) B．xeq \s\up6(\f(4,15))
C．x－ eq \s\up4(\f(4,15)) D．xeq \s\up6(\f(2,5))
[解析] 原式＝(x eq \s\up4(\f(1,6)) ·x－ eq \s\up4(\f(2,3)) × eq \s\up4(\f(1,2)) )－ eq \s\up4(\f(8,5)) ＝(x eq \s\up4(\f(1,6)) － eq \s\up4(\f(1,3)) )－ eq \s\up4(\f(8,5)) ＝x(－ eq \s\up4(\f(1,6)) )×(－ eq \s\up4(\f(8,5)) )＝xeq \s\up6(\f(4,15))．
3．若3x－2y＝2，则eq \f(25y,53x)＝( B )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(1,25)
C．5 D．25
[解析] eq \f(25y,53x)＝52y－3x＝5－2＝eq \f(1,25)．
4．计算(2a－3b－ eq \s\up4(\f(2,3)) )·(－3a－1b)÷(4a－4b－ eq \s\up4(\f(5,3)) )的结果为( A )
A．－eq \f(3,2)b2 B．eq \f(3,2)b2
C．－eq \f(3,2)beq \s\up6(\f(7,3)) D．eq \f(3,2)beq \s\up6(\f(7,3))
[解析] 原式＝(－6·a－3－1b－ eq \s\up4(\f(2,3)) ＋1)÷(4a－4b－ eq \s\up4(\f(5,3)) )
＝－eq \f(3,2)a－4＋4·b eq \s\up4(\f(1,3)) ＋ eq \s\up4(\f(5,3)) ＝－eq \f(3,2)b2．
5．(多选题)(2021·长安一中检测)下列等式能够成立的是( AD )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))eq \s\up12(7)＝n7·m－7(m≠n，m≠0)
B．eq \r(12,(－3)4)＝(－3)eq \s\up6(\f(1,3))
C．eq \r(4,x3＋y3)＝(x＋y)－ eq \s\up4(\f(3,4)) (x≥0，y≥0)
D．eq \r(\r(3,9))＝3eq \s\up6(\f(1,3))
[解析] 因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))eq \s\up12(7)＝eq \f(n7,m7)＝n7·m－7，所以A正确；因为eq \r(12,(－3)4)＝eq \r(12,34)＝3eq \s\up6(\f(1,3))≠(－3)eq \s\up6(\f(1,3))，所以B错误；因为eq \r(4,x3＋y3)＝(x3＋y3)eq \s\up6(\f(1,4))≠(x＋y)－ eq \s\up4(\f(3,4)) ，所以C错误；因为eq \r(\r(3,9))＝eq \r(6,9)＝3eq \s\up6(\f(1,3))，所以D正确．故选AD．
二、填空题
6．计算：(0.027)eq \s\up6(\f(1,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,2))＋256eq \s\up6(\f(3,4))＋(2eq \r(2))eq \s\up6(\f(2,3))－3－1＋π0＝__64eq \f(7,15)__．
[解析] 原式＝(0.33)eq \s\up6(\f(1,3))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2)))eq \s\up12(\f(1,2))＋(44)eq \s\up6(\f(3,4))＋(2 eq \s\up4(\f(3,2)) )eq \s\up6(\f(2,3))－eq \f(1,3)＋1＝0.3－eq \f(5,2)＋43＋2－eq \f(1,3)＋1＝64eq \f(7,15)．
7．化简eq \r(3,a\s\up6(\f(9,2))·\r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－7)·\r(3,a13))(a＞0)的结果是__1__．
[解析] eq \r(3,a eq \s\up4(\f(9,2)) ·\r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－7)·\r(3,a13))＝eq \r(3,a eq \s\up4(\f(9,2)) ·a－ eq \s\up4(\f(2,3)) )÷eq \r(a－ eq \s\up4(\f(7,3)) ·a eq \s\up4(\f(13,3)) )＝eq \r(3,a3)÷eq \r(a2)＝a÷a＝1．
三、解答题
8．计算下列各式的值(式中的字母均为正实数)：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋(1.5)－2；
(2)2xeq \s\up6(\f(1,3))yeq \s\up6(\f(1,2))÷(xeq \s\up12(－\f(2,3))·eq \r(3,y))；
(3)(2xeq \s\up6(\f(1,4))＋3eq \s\up6(\f(3,2)))(2xeq \s\up6(\f(1,4))－3eq \s\up6(\f(3,2)))－4x－eq \s\up6(\f(1,2))(x－xeq \s\up6(\f(1,2)))．
[解析] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4)))eq \s\up6(\f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋(1.5)－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))eq \s\up6(\f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(2×\f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,27)))eq \s\up6(\f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,2)－eq \f(4,9)＋eq \f(4,9)＝eq \f(3,2)．
(2)2xeq \s\up6(\f(1,3))yeq \s\up6(\f(1,2))÷(x－eq \f(2,3)·eq \r(3,y))＝2xeq \s\up6(\f(1,3))yeq \s\up6(\f(1,2))·(xeq \s\up6(\f(2,3))y－eq \s\up6(\f(1,3)))＝2xyeq \s\up6(\f(1,6))．
(3)(2xeq \s\up6(\f(1,4))＋3eq \s\up6(\f(3,2)))(2xeq \s\up6(\f(1,4))－3eq \s\up6(\f(3,2)))－4x－eq \s\up6(\f(1,2)) (x－xeq \s\up6(\f(1,2)))＝4xeq \s\up6(\f(1,2))－33－4xeq \s\up6(\f(1,2))＋4＝－23．
9．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(x，y∈R)．(e＝2.718…为常数)
(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；
(2)设f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求eq \f(g(x＋y),g(x－y))的值．
[解析] (1)[f(x)]2－[g(x)]2
＝[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]
＝(ex－e－x＋ex＋e－x)(ex－e－x－ex－e－x)
＝2ex·(－2e－x)＝－4e0＝－4．
(2)由f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)
＝ex＋y＋e－(x＋y)－ex－y－e－(x－y)
＝g(x＋y)－g(x－y)＝4．
同理可得g(x)g(y)＝g(x＋y)＋g(x－y)＝8，
所以g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，
所以eq \f(g(x＋y),g(x－y))＝eq \f(6,2)＝3．
B 组·素养提升
一、选择题
1．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y为( D )
A．y＝eq \f(x＋1,x－1) B．y＝eq \f(x＋1,x)
C．y＝eq \f(x－1,x＋1) D．y＝eq \f(x,x－1)
[解析] 由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋eq \f(1,2b)＝1＋eq \f(1,x－1)＝eq \f(x,x－1)．
2．(多选题)下列结论中不正确的是( ABC )
A．当a＜0时(a2) eq \s\up4(\f(3,2)) ＝a3
B．eq \r(n,an)＝|a|
C．函数y＝(x－2)eq \s\up6(\f(1,2))－(3x－7)0的定义域是[2，＋∞)
D．若100a＝5，10b＝2，则2a＋b＝1
[解析] 取a＝－2，可验证A不正确；当a＜0，n为奇数时，B不正确；y＝(x－2)eq \s\up6(\f(1,2))－(3x－7)0的定义域应是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(7,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，＋∞))，C不正确；D．由100a＝5，得102a＝5，又10b＝2，两式相乘得102a＋b＝10，即2a＋b＝1正确．
二、填空题
3．设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(α＋β)＝__8__．
[解析] 由根与系数的关系，得α＋β＝－eq \f(3,2)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(α＋β)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(－\f(3,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－2))eq \s\up12(－\f(3,2))＝23＝8．
4．已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28，a＞0，且a≠1，则a4m＋n的值为__4__．
[解析] 因为a2m＋n＝2－2，am－n＝28，两式相乘得a3m＝26，所以am＝22．将am＝22代入am－n＝28，所以an＝2－6，所以a4m＋n＝a4m·an＝(am)4·an＝(22)4·2－6＝22＝4．
三、解答题
5．已知x＋y＝10，xy＝9，且x＜y，求eq \f(xeq \s\up6(\f(1,2))－yeq \s\up6(\f(1,2)),xeq \s\up6(\f(1,2))＋yeq \s\up6(\f(1,2)))的值．
[解析] 因为eq \f(xeq \s\up6(\f(1,2))－yeq \s\up6(\f(1,2)),xeq \s\up6(\f(1,2))＋yeq \s\up6(\f(1,2)))＝eq \f((xeq \s\up6(\f(1,2))－yeq \s\up6(\f(1,2)))2,(xeq \s\up6(\f(1,2))＋yeq \s\up6(\f(1,2)))(xeq \s\up6(\f(1,2))－yeq \s\up6(\f(1,2))))＝eq \f((x＋y)－2(xy)eq \s\up6(\f(1,2)),x－y)，①
又因为x＋y＝10，xy＝9，②
所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝102－4×9＝64．
因为x＜y，所以x－y＝－8，③
将②③式代入①式得eq \f(xeq \s\up6(\f(1,2))－yeq \s\up6(\f(1,2)),xeq \s\up6(\f(1,2))＋yeq \s\up6(\f(1,2)))＝eq \f(10－2×9eq \s\up6(\f(1,2)),－8)＝－eq \f(1,2)．
6．(2022·黄冈中学高一期末)已知函数f(x)＝eq \f(22x,2＋22x)．
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))；
(2)求f(x)＋f(1－x)的值；
(3)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,100)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,100)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(98,100)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(99,100)))的值．
[解析] (1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(21,2＋21)＝eq \f(1,2)．
(2)f(x)＋f(1－x)＝eq \f(22x,2＋22x)＋eq \f(22(1－x),2＋22(1－x))＝eq \f(4x,2＋4x)＋eq \f(41－x,2＋41－x)＝eq \f(4x,2＋4x)＋eq \f(4,2·4x＋4)＝eq \f(4x,2＋4x)＋eq \f(2,4x＋2)＝eq \f(4x＋2,2＋4x)＝1．
(3)由(1)(2)知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,100)))＋…＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(98,100)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(99,100)))＝eq \f(99,2)．