数学必修 第一册4.1 样本的数字特征课时练习

这是一份数学必修 第一册4.1 样本的数字特征课时练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．已知数据－3，－2，0，6，6，13，20，35则它的中位数和众数各是( A )
A．6和6 B．3和6
C．6和3 D．9.5和6
[解析] ∵从小到大排列的这8个数，排在中间的两个数都是6，∴中位数是6；∵6出现的次数最多，∴众数是6，故选A．
2．2019年1月份我国多地雾霾天气频发，部分地区平均雾霾天数统计如下：
这五省1月份雾霾天数的平均数与中位数分别是( A )
A．14，13 B．15，13
C．14，14 D．14，15
[解析] 将这组数据按从大到小的顺序排列，中间一个数为13，则这组数据的中位数是13；平均数eq \(x,\s\up6(－))＝(24＋15＋13＋10＋8)÷5＝14.故选A．
3．(多选题)下列说法中正确的是( ACD )
A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定
[解析] 由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，ACD正确．
4．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数eq \(x,\s\up6(－))及其方差s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是( B )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[解析] 因为eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \(x,\s\up6(－))丙>eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \(x,\s\up6(－))丁，且seq \\al(2,甲)＝seq \\al(2,乙)5．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．若小刘在知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛，则他需要知道其他15位同学成绩的( C )
A．平均数 B．极差
C．中位数 D．方差
[解析] 判断是不是能进入决赛，只需判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛．第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．
6．某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表：
如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是( B )
A．平均数 B．众数
C．中位数 D．方差
[解析] 鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据最重要的是众数．
二、填空题
7．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，中位数为23，则x＝__23__．
[解析] 由题意知eq \f(x＋23,2)＝23，则x＝23.
8．若k1，k2，…，k6的方差为3，则2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k6－3)的方差为__12__．
[解析] 设k1，k2，…，k6的平均数为eq \(k,\s\up6(－))，
则eq \f(1,6)[(k1－eq \(k,\s\up6(－)))2＋(k2－eq \(k,\s\up6(－)))2＋…＋(k6－eq \(k,\s\up6(－)))2]＝3.
而2(k1－3)，2(k2－3)，…，2(k6－3)的平均数为2(eq \(k,\s\up6(－))－3)．
则所求方差为eq \f(1,6)[4(k1－eq \(k,\s\up6(－)))2＋4(k2－eq \(k,\s\up6(－)))2＋…＋4(k6－eq \(k,\s\up6(－)))2]＝4×3＝12.
9．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.
则：(1)平均命中环数为__7__；
(2)命中环数的标准差为__2__．
[解析] (1)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.
(2)∵s2＝eq \f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.
三、解答题
10．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如表：
(1)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的平均数、中位数；
(2)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75%分位数．
[解析] (1)平均数eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,50)×(2×6＋3×17＋4×15＋5×12)＝eq \f(183,50)＝3.66.中位数是4.
(2)因为50×75%＝37.5，所以这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75%分位数是x38＝4.
11．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．
[解析] 设甲、乙两人成绩的平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))甲，eq \(x,\s\up6(－))乙，
则eq \(x,\s\up6(－))甲＝130＋eq \f(1,6)(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝130＋eq \f(1,6)(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝eq \f(47,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝eq \f(38,3).
因此，甲与乙的成绩的平均数相同，由于乙的成绩的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列说法正确的是( ABC )
A．方差是标准差的平方
B．标准差的大小不会超过极差
C．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0
D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
[解析] 标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．
2．(多选题)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中5天，这5天中14时的气温数据(单位：℃)以下：
甲 28 26 29 31 31
乙 28 29 30 32 31
根据这些数据能得到的统计结论有( AD )
A．甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温
B．甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温
C．甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差
D．甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差
[解析] 由题中数据知x甲＝eq \f(28＋26＋29＋31＋31,5)＝29(℃)，
s甲＝eq \r(\f(1,5)×[（28－29）2＋（26－29）2＋（29－29）2＋（31－29）2＋（31－29）2])
＝eq \f(3\r(10),5)(℃)；
x乙＝eq \f(28＋29＋30＋32＋31,5)＝30(℃)，
s乙＝eq \r(\f(1,5)×[（28－30）2＋（29－30）2＋（30－30）2＋（32－30）2＋（31－30）2])
＝eq \r(2)℃.
所以x甲s乙．
3．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( D )
A．eq \r(\f(6,5)) B．eq \f(6,5)
C．eq \r(2) D．2
[解析] ∵样本的平均数为1，∴eq \f(1,5)(a＋0＋1＋2＋3)＝1，∴a＝－1，∴样本方差s2＝eq \f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
4．已知某7个数的平均数为3，方差为s2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，方差为eq \f(7,2)，则( B )
A．eq \(x,\s\up6(－))＝3，s2＝2 B．eq \(x,\s\up6(－))＝3，s2＝4
C．eq \(x,\s\up6(－))＝3，s2＝28 D．eq \(x,\s\up6(－))＝3，s2＝eq \f(7,2)
[解析] 由题意知eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(7×3＋3,8)＝3，
由方差公式得eq \f(7,2)＝eq \f(1,8)[7s2＋(3－3)2]，
所以s2＝eq \f(7,2)×8×eq \f(1,7)＝4.
二、填空题
5．从一堆苹果中任取5个，称得它们的质量(单位：g)如下：125，124，121，123，127.则该样本的标准差s＝__2__g(用数字作答)．
[解析] 方法一(定义法)：平均数x＝eq \f(1,5)×(125＋124＋121＋123＋127)＝124(g)．
方差s2＝eq \f(1,5)×(12＋02＋32＋12＋32) ＝4，
所以标准差s＝2g.
方法二(新数据法)：将原数据都减去124，得新数据1，0，－3，－1，3，它们的平均数为0，方差为4，故原数据的方差为4，则所求标准差s＝2.
6．某学习小组10名同学在一次数学测试中的得分分别为85，78，66，91，67，78，67，87，96，88，则这10名同学成绩的60%分位数为__86__．
[解析] 这组数据按照从小到大排列后为66，67，67，78，78，85，87，88，91，96，
10×60%＝6，所以这10名同学成绩的60%分位数为eq \f(x6＋x7,2)＝eq \f(85＋87,2)＝86.
7．某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表.
用seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差，则seq \\al(2,1)＝__22__，seq \\al(2,2)＝__62__，并由此可判断成绩更稳定的班级是__甲__班．
[解析] 根据表中数据，计算甲班的平均数为eq \(x,\s\up6(－))1＝eq \f(1,5)×(8＋11＋14＋15＋22)＝14，
乙班的平均数为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×(6＋7＋10＋23＋24)＝14；
甲班的方差为seq \\al(2,1)＝eq \f(1,5)×[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，
乙班的方差为seq \\al(2,2)＝eq \f(1,5)×[(6－14)2＋(7－14)2＋(10－14)2＋(23－14)2＋(24－14)2]＝62，所以seq \\al(2,1)由此可判断成绩更稳定的班级是甲班．
三、解答题
8．一箱方便面共有50袋，用随机抽样方法从中抽取了10袋，并称其质量(单位：g)结果为：60.5，61，60，60，61.5，59.5，59.5，58，60，60.
(1)指出总体、个体、样本、样本容量；
(2)指出样本数据的众数、中位数、平均数；
(3)求样本数据的方差．
[解析] (1)总体是这50袋方便面的质量，个体是这一箱方便面中每一袋方便面的质量，样本是抽取的10袋方便面的质量，样本容量为10.
(2)这组样本数据的众数是60，中位数为60，
平均数为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,10)×(60.5＋61＋60＋60＋61.5＋59.5＋59.5＋58＋60＋60)＝60.
(3)样本数据的方差为s2＝eq \f(1,10)[(60.5－60)2＋(61－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(61.5－60)2＋(59.5－60)2＋(59.5－60)2＋(58－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2]＝0.8
9．甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)现要从甲、乙两人中选拔一人去参加比赛，根据上面的测试成绩，你认为应该派谁去合适？并且说明理由．
[解析] (1)甲的平均数为eq \(x,\s\up6(－))甲＝
eq \f(1,10)×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，
乙的平均数为eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,10)×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7，
甲的方差为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)[(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(4－7)2＋(7－7)2]＝eq \f(1,10)×(1＋1＋1＋1＋4＋4＋9＋9)＝eq \f(30,10)＝3，
乙的方差为seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)[(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2]
＝eq \f(1,10)×(1＋1＋1＋1＋4＋4)＝eq \f(12,10)＝1.2.
(2)由于eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \(x,\s\up6(－))乙，则两人平均数相同，由于seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，则甲数据不如乙数据稳定，故应选派乙参加比赛．省份
江苏
北京
浙江
安徽
山东
天数(天)
24
15
13
10
8
项目
甲
乙
丙
丁
eq \(x,\s\up6(－))
7
8
8
7
s2
6.3
6.3
7
8.7
鞋号
34
35
36
37
38
39
40
41
日销量/双
2
5
9
16
9
5
3
2
每户丢弃旧塑料袋个数
2
3
4
5
户数
6
17
15
12
甲
127
138
130
137
135
131
乙
133
129
138
134
128
136
甲
8
11
14
15
22
乙
6
7
10
23
24
甲
8
6
7
8
6
5
9
10
4
7
乙
6
7
7
8
6
7
8
7
9
5