高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 古典概型综合训练题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 古典概型综合训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[解析] 设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.
2．(天津高考题)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq \f(1,2)，甲获胜的概率是eq \f(1,3)，则甲不输的概率为( A )
A．eq \f(5,6) B．eq \f(2,5)
C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,3)
[解析] 由题意得，甲不输的概率为eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,6).
3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选两种花种在一个花坛中，余下的两种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(5,6)
[解析] 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选两种花种在一个花坛中，余下的两种花种在另一个花坛中，所有不同的种法有(红，黄)，(红，白)，(红，紫)，(黄，白)，(黄，紫)，(白，紫)，共6种方法，其中，红色和紫色的花不在同一花坛的种法有(红，黄)，(红，白)，(黄，紫)，(白，紫)4种方法，所以所求的概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
4．(多选)下列关于古典概型的说法中正确的是( ACD )
A．试验中所有可能出现的样本点只有有限个
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．样本点的总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则P(A)＝eq \f(k,n)
[解析] 根据古典概型的特征与公式进行判断，A、C、D正确，B不正确，故选ACD．
5．如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从八个面中随机选取两个面，则这两个面不相邻的概率为( C )
A．eq \f(2,7) B．eq \f(3,7)
C．eq \f(4,7) D．eq \f(5,7)
[解析] 结合题意，每个面相邻的面有3个，不相邻的面有4个，
故随机取2个面，不相邻的概率为：eq \f(4,3＋4)＝eq \f(4,7).
6．(2021·河南开封十中高一月考)四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段构成一个三角形的概率是( A )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,5)
[解析] 从长度分别是1，3，5，7的四条线段中任取三条，所得基本事件有(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)共4个，所取出的三条线段能构成一个三角形的基本事件有(3，5，7)，∴所求概率为eq \f(1,4).
二、填空题
7．有1号、2号、3号共3个信箱和A，B，C，D共4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A信投入1号或2号信箱的概率是__eq \f(2,3)__．
[解析] 由于每封信可以任意投入信箱，对于A信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3个样本点．投入1号或2号信箱有2个样本点，故A信投入1号或2号信箱的概率为eq \f(2,3).
8．(2020·江苏，6)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__eq \f(3,10)__．
[解析] 设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，从中选出2人的情况有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女生的情况有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为eq \f(3,10).
9．(2019·江苏，6)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是__eq \f(7,10)__．
[解析] eq \a\vs4\al(方法1：)设3名男同学分别为A，B，C，2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为eq \f(7,10).
eq \a\vs4\al(方法2：)同方法1，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－eq \f(3,10)＝eq \f(7,10).
三、解答题
10．甲、乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数．
(1)求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；
(2)分别从甲、乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率．
[解析] (1)由题图可得，甲组同学答对题目的个数分别为：8，9，11，12，
∴eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(8＋9＋11＋12,4)＝10，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,4)×[(8－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝eq \f(5,2).
(2)由题图可得，乙组同学答对题目的个数分别为：8，8，9，11.分别从甲、乙两组中各抽取一名同学，设“这两名同学答对题目个数之和为20”为事件A，以(x，y)记录甲、乙两组同学答对题目的个数，基本事件有：(8，8)，(8，8)，(8，9)，(8，11)，(9，8)，(9，8)，(9，9)，(9，11)，(11，8)，(11，8)，(11，9)，(11，11)，(12，8)，(12，8)，(12，9)，(12，11)，共16个．
事件A包含的基本事件有：(9，11)，(11，9)，(12，8)，(12，8)，共4个．故P(A)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).
11．已知围棋盒子中有多枚黑子和多枚白子，从中取出2枚都是黑子的概率是eq \f(1,7)，从中取出2枚都是白子的概率是eq \f(12,35).现从中任意取出2枚，恰好是同一色的概率是多少？
[解析] 设事件A＝“从中取出2枚都是黑子”，事件B＝“从中取出2枚都是白子”，事件C＝“任意取出2枚恰好是同一色”，则C＝A∪B，事件A与B互斥．
则P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,7)＋eq \f(12,35)＝eq \f(17,35)，
即任意取出2枚恰好是同一色的概率是eq \f(17,35).
B 组·素养提升
一、选择题
1．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8g的概率为0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)内的概率是( B )
A．0.62 B．0.38
C．0.70 D．0.68
[解析] 利用对立事件的概率公式可得
P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38.
2．(多选)在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是( ABC )
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．A1∪A2∪A3是必然事件
C．P(A2∪A3)＝0.8
D．P(A1∪A2)≤0.5
[解析] 三个事件A1、A2、A3不一定是互斥事件，故P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2∪A3)≤1，A1∪A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件．
3．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( D )
Aeq \f(1,10) B．eq \f(1,5)
C．eq \f(3,10) D．eq \f(2,5)
[解析] 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，
∴所求概率P＝eq \f(10,25)＝eq \f(2,5).
4．(2021·河北邢台高三月考)A，B，C三人同时参加一场活动，活动前A，B，C三人都把手机放在了A的包里．活动结束后B，C两人去拿手机，发现三人手机外观看上去都一样，于是这两人每人随机拿出一部，则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是( B )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,6)
[解析] 设A，B，C三人的手机分别为A′，B′，C′，则B，C两人拿到的手机的可能情况为(B－A′，C－B′)，(B－A′，C－C′)，(B－B′，C－A′)，(B－B′，C－C′)，(B－C′，C－A′)，(B－C′，C－B′)，共6种．这两人中只有一人拿到自己手机的情况有(B－A′，C－C′)，(B－B′，C－A′)，共2种．故所求概率为eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，故选B．
二、填空题
5．事件A，B互斥，且P(A)＝2P(B)，它们都不发生的概率为eq \f(2,5)，则P(eq \(A,\s\up6(－)))＝__eq \f(3,5)__．
[解析] ∵事件A，B互斥，且P(A)＝2P(B)，它们都不发生的概率为eq \f(2,5)，∴1－P(A)－P(B)＝1－2P(B)－P(B)＝eq \f(2,5)，解得P(B)＝eq \f(1,5)，∴P(A)＝2P(B)＝eq \f(2,5)，
∴P(eq \(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
6．下列概率模型中，是古典概型的有__②__(只填序号)．
①从区间[1，10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；
③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．
[解析] 根据古典概型的定义判断，①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．④中硬币不均匀，则“正面朝上”和“反面朝上”出现的可能性不相等，因此不是古典概型．
7．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选1人表演节目，若选到男教师的概率为eq \f(9,20)，则参加联欢会的教师共有__120__人．
[解析] 设参加联欢会的男教师有n人，则女教师有(n＋12)人，依题意有eq \f(n,2n＋12)＝eq \f(9,20)，解得n＝54.因此参加联欢会的教师共有120人．
三、解答题
8．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具去？
[解析] (1)记“他乘火车去”为事件A，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D．这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥．
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P(eq \(B,\s\up6(－)))，则
P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以，他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
9．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
[解析] (1)抽样比为eq \f(6,27＋9＋18)＝eq \f(1,9)，所以应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.
(2)①从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5，A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种，所以事件A发生的概率P(A)＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).