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初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理3 勾股定理的应用精品课时练习
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这是一份初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理3 勾股定理的应用精品课时练习，共32页。试卷主要包含了单选题，应用勾股定理解决旗杆高度，应用勾股定理解决小鸟飞行的距离，应用勾股定理解决航海问题，应用勾股定理解决河的宽度，应用勾股定理解决台阶上地毯问题等内容，欢迎下载使用。
专题1.3 勾股定理的应用（专项练习）
一、单选题
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
1．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（ ）．
A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
3．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开8m后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（ ）
A．m B．m C．m D．m
4．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖8cm，另一只朝正东方向挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
7．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在中，，，，若设，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
9．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺
类型六、应用勾股定理解决航海问题
11．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
12．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（ ）千米．
A．26 B．18 C．13 D．32
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
13．为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是( )
A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m
14．游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为( )．
A．80米 B．100米 C．72米 D．112米
类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
15．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．15
16．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（ ）
A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm
类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
17．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
18．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒．
二、填空题
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
19．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．问木杆是多长？（1丈=10尺）设木杆长为x尺根据题意，可列方程为______．
20．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为__________m．
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
21．学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．
22．如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处断裂，且旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部________m位置断裂．
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
23．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_______米.
24．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
25．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高 1 丈（1 丈=10 尺），折断后顶端落在离竹子底端 3 尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意，可列出关于 x 方程为:__________.
26．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为______．
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
27．我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长____________尺．
28．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？则水深DE为_____尺．
类型六、应用勾股定理解决航海问题
29．一艘船先向正西方向航行，然后向正南方向航行，这时它距出发点__________．
30．小明向正东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地，小明向东走80m后是向__________方向走的60m．
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
31．小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________．
32．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为_____米．
类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
33．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm．
34．如图，有一个三级台阶，它的每一级的长， 宽和高分别是，，，点和点是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到点的最短路程是____．
类型九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
35．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”）
36．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是__m/s．
类型十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
37．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 _____秒．
38．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
类型十一、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
39．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则________m．
40．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．
参考答案
1．B
【分析】
要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
解：∵在Rt△ACB中，，
∴AC＝2米，
∵BD＝0.9米，
∴CD＝BD+BC=0.9+1.5=2.4（米），
∵在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝2.52﹣2.42＝0.49，
∴EC＝0.7米，
∴AE＝AC﹣EC＝2﹣0.7＝1.3（米），故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．C
【分析】
如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案．
解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，
∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+0.72＝6.25，
∴BD2＝5.76，
∵BD＞0，
∴BD＝2.4米，
∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．C
【分析】
根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
解：根据题意画出图形如下所示：
则BC＝8m，
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
故AB＝15m，
即旗杆的高为15m．
故选：C．
【点拨】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
4．A
【分析】
如图，过点作于点，在中，根据列出方程即可．
解：如图，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，，
设旗杆的高度AB长为x，则，，
在中，
，
即．
故选A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
5．C
【分析】
此题可以过低树的一端向高树引垂线．则构造了一个直角三角形：其斜边是小鸟飞的路程，一条直角边是4，另一条直角边是两树相差的高度3．根据勾股定理得：小鸟飞了5米．
解：如图所示，
AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，过D作DE⊥AB于E，
则DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，
在Rt△ADE中，AD＝5m．
故选：C．
【点拨】能够正确理解题意，准确画出图形，熟练运用勾股定理即可．
6．D
【分析】
画出图形，利用勾股定理即可求解．
解：如图，cm，cm，
∴在中，由勾股定理得AB=100cm，
故选：D
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，画出图形是解题的关键．
7．D
【分析】
根据勾股定理建立方程即可．
解： ，，，
设，则，则
故选D
【点拨】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立方程是解题的关键．
8．D
【分析】
依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案．
解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺，
依题意，由勾股定理，得：，
解得，
所以芦苇的长度为13尺．
故选D．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键．
9．B
【分析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
10．B
【分析】
根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．
解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺，
在Rt△AB'C中，∵，
∴，
解得：，
∴水深为：尺，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
11．C
【分析】
依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出OA、OB，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，结合∠NOA的度数即可求出∠SOB的度数，此题得解．
解：OA＝40×1.5＝60km，OB＝40×2＝80km，AB＝100km，
∵802＋602＝1002，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°
∵∠NOA＝30°，
∴∠SOB＝60°
∴乙客轮的航行方向为南偏东60°，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理找出∠AOB＝90°是解题的关键．
12．A
【分析】
根据题意可知两次航向的方向构成了直角．然后根据题意知两次航行的路程即是两条直角边，根据勾股定理就能计算AC的长．
解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，
∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，
根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，
∴AC2＝242＋102，
∴AC＝26km．
故选：A．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的关键．
13．C
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，
∴AB2=AC2-BC2，
=1602-1282=9216，
∴AB=96（m），
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
14．A
【分析】
实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB=80m，
故选A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它.
15．D
【分析】
此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
解：如图，将台阶展开，
因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2＋BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．
16．B
【分析】
要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求出所需结果．
解：如图，将长方体展开，连接A、B′，
则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm）， A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，
所以AB′＝10 cm．
故选：B．
【点拨】本题考查了平面展开−最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，构造直角三角形运用勾股定理解决．
17．A
【分析】
如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH=90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点拨】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．B
【分析】
过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.．
19．102+（x-1）2=x2
【分析】
当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x-1）尺，根据勾股定理可列出方程．
解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x-1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，
∴102+（x-1）2=x2，
故答案为：102+（x-1）2=x2．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
20．2.7
【分析】
先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米，
∴AD2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，
∴AB2+1.52=6.25，
∴AB2=4．
∵AB＞0，
∴AB=2米．
∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米．
故答案为 2.7．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
21．7.5；
【分析】
旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
解：如图，设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，
解得：x=7.5，
∴旗杆的高度为7.5m，
故答案为7.5．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
22．6
【分析】
设，则,在中，利用勾股定理列方程，即可求解．
解：如图，
由题意知，，，
设，则,
在中，，
即，
解得，
因此旗杆在离底部6m位置断裂．
故答案为：6．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
23．
【分析】
由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可．
解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，
设BD＝x，则AD＝15－x，
∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，
即，
解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米），
答：树高为7.5米．
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
24．5m
【分析】
由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5．
故答案为：5m．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
25．
【分析】
设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可
解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
26．
【分析】
根据勾股定理即可得出结论．
解：设未折断的竹干长为尺，
根据题意可列方程为：．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
27．13
【分析】
设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，根据勾股定理列方程求解即可．
解：根据题意，设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，
根据题意列方程得：x2+52=（x+1）2，
解得：x=12
∴OA'=13尺．
故答案为：13．
【点拨】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，根据勾股定理列方程求解．
28．12
【分析】
设水深为h尺，则芦苇长为(h + 1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．
解：设水深为h尺，则芦苇长为(h+ 1)尺，
根据勾股定理，得
(h+ 1)2-h2=52
解得h = 12，
∴水深为12尺，
故答案是： 12．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．
29．170
【分析】
解：如图，根据题意得，，，
∴构成直角三角形，
根据勾股定理，得，
∴，
∴．
故答案为：170．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
30．正北或正南
【分析】
根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案．
解：根据题意作图如下，
AB=80m，BC=BD=60m，AC=AD=100m，
根据602+802=1002得：∠ABC=∠ABD=90°，
故小明向东走80m后是向正北或正南方向走的．
故答案为：正北或正南．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形并进行分析判断．
31．2
【分析】
根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．
解：根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，
所以BC即为河水深度，，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得：BC=2（m），
故答案为：2．
【点拨】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键．
32．75
【分析】
设BC=xm，由题意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可．
解：设BC=x，由题意得AB=40m，AC=x+10
由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75．
故答案为75．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键．
33．17
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：，
解得．
故答案为：17．
【点拨】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
34．20
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为16，宽为（3+1）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=162+[（3+1）×3]2=400，
解得x=20.
【点拨】本题主要考查了平面展开—最短路径问题以及勾股定理，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
35．超速
【分析】
根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案．
解：在中，，所以.
因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速.
【点拨】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，在本题中另外一个难点是单位的换算，.
36．20
解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：BC=40（m），
故小汽车的速度为v==20m/s．
37．18
【分析】
过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失．
解：
如图，过点A作AC⊥ON于N，
∵∠MON＝30°，OA＝80米，
∴AC＝40米，
当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50米，
∴BC=30
第一台拖拉机到D点时噪音消失，
所以CD＝30米，
由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．
所以影响时间应是：90÷5＝18（秒）．
答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒．
故答案为：18．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
38．8
【分析】
过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，
∴影响时间应是：320÷40=8秒．
故答案为：8．
【点拨】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．
39．10
【分析】
连接OA，OB，OM，即为圆弧的半径，则根据勾股定理和已知条件，可得，圆弧的半径是，则有，即可得出半径为13，利用，即可求出MH，则可求出MN.
解：如图示：连接OA，OB，OM，并且CD交AB、MN与G、H两点，
根据对称性，有 ，，
∴，
设圆弧的半径是，即：，
∴，
由勾股定理可得：，即：，
解之得：，
∴,
由勾股定理可得：，即：，
解之得：，
∴
故答案为：10.
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，能熟练构造出直角三角形是解题的关键.
40．12
解：设AE=x千米,则BE=（36－x）千米,
在Rt△AEC中,CE2=AE2+AC2=x2+242,在Rt△BED中,
DE2=BE2+BD2=+122,
∵CE=ED,∴x2+242=+122,解得x=12,所以E站应建在距A站12千米的地方,能使蔬菜基地C,D到E的距离相等,故答案为12．
专题1.3 勾股定理的应用（专项练习）
一、单选题
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
1．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B离墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上了，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下滑（ ）．
A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（ ）
A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
3．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开8m后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（ ）
A．m B．m C．m D．m
4．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分钟挖8cm，另一只朝正东方向挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
7．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在中，，，，若设，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）
A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
9．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺
类型六、应用勾股定理解决航海问题
11．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°
12．一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（ ）千米．
A．26 B．18 C．13 D．32
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
13．为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是( )
A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m
14．游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为( )．
A．80米 B．100米 C．72米 D．112米
类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
15．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．15
16．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（ ）
A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm
类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
17．M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4 B．5 C．6 D．7
18．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒．
二、填空题
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
19．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．问木杆是多长？（1丈=10尺）设木杆长为x尺根据题意，可列方程为______．
20．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为__________m．
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
21．学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米．
22．如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处断裂，且旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部________m位置断裂．
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
23．在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_______米.
24．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
25．我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高 1 丈（1 丈=10 尺），折断后顶端落在离竹子底端 3 尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意，可列出关于 x 方程为:__________.
26．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为______．
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
27．我国古代九章算术中有数学发展史上著名的“葭生池中”问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：葭长几何？（1丈＝10尺）．意思是：有一个长方体池子，底面是边长为1丈的正方形，中间有芦苇，把高出水面1尺的芦苇拉向池边（芦苇没有折断），刚好贴在池边上，问：芦苇长多少尺？答：芦苇长____________尺．
28．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？则水深DE为_____尺．
类型六、应用勾股定理解决航海问题
29．一艘船先向正西方向航行，然后向正南方向航行，这时它距出发点__________．
30．小明向正东走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三个方向走100m回到原地，小明向东走80m后是向__________方向走的60m．
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
31．小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________．
32．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为_____米．
类型八、应用勾股定理解决台阶上地毯问题
33．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm．
34．如图，有一个三级台阶，它的每一级的长， 宽和高分别是，，，点和点是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到点的最短路程是____．
类型九、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
35．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”）
36．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，则这辆小汽车的速度是__m/s．
类型十、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
37．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是 _____秒．
38．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
类型十一、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
39．某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则________m．
40．如图，在东西走向的铁路上有A、B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A、B的正北分别有C、D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C、D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．
参考答案
1．B
【分析】
要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．
解：∵在Rt△ACB中，，
∴AC＝2米，
∵BD＝0.9米，
∴CD＝BD+BC=0.9+1.5=2.4（米），
∵在Rt△ECD中，EC2＝ED2﹣CD2＝2.52﹣2.42＝0.49，
∴EC＝0.7米，
∴AE＝AC﹣EC＝2﹣0.7＝1.3（米），故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．C
【分析】
如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案．
解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，
∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+0.72＝6.25，
∴BD2＝5.76，
∵BD＞0，
∴BD＝2.4米，
∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．C
【分析】
根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
解：根据题意画出图形如下所示：
则BC＝8m，
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
故AB＝15m，
即旗杆的高为15m．
故选：C．
【点拨】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
4．A
【分析】
如图，过点作于点，在中，根据列出方程即可．
解：如图，过点作于点，
，
四边形是矩形，
，，
设旗杆的高度AB长为x，则，，
在中，
，
即．
故选A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
5．C
【分析】
此题可以过低树的一端向高树引垂线．则构造了一个直角三角形：其斜边是小鸟飞的路程，一条直角边是4，另一条直角边是两树相差的高度3．根据勾股定理得：小鸟飞了5米．
解：如图所示，
AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，过D作DE⊥AB于E，
则DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，
在Rt△ADE中，AD＝5m．
故选：C．
【点拨】能够正确理解题意，准确画出图形，熟练运用勾股定理即可．
6．D
【分析】
画出图形，利用勾股定理即可求解．
解：如图，cm，cm，
∴在中，由勾股定理得AB=100cm，
故选：D
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，画出图形是解题的关键．
7．D
【分析】
根据勾股定理建立方程即可．
解： ，，，
设，则，则
故选D
【点拨】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立方程是解题的关键．
8．D
【分析】
依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案．
解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺，
依题意，由勾股定理，得：，
解得，
所以芦苇的长度为13尺．
故选D．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键．
9．B
【分析】
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
10．B
【分析】
根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．
解：依题意画出图形，
设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺，
在Rt△AB'C中，∵，
∴，
解得：，
∴水深为：尺，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
11．C
【分析】
依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出OA、OB，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，结合∠NOA的度数即可求出∠SOB的度数，此题得解．
解：OA＝40×1.5＝60km，OB＝40×2＝80km，AB＝100km，
∵802＋602＝1002，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°
∵∠NOA＝30°，
∴∠SOB＝60°
∴乙客轮的航行方向为南偏东60°，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理找出∠AOB＝90°是解题的关键．
12．A
【分析】
根据题意可知两次航向的方向构成了直角．然后根据题意知两次航行的路程即是两条直角边，根据勾股定理就能计算AC的长．
解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，
∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，
根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，
∴AC2＝242＋102，
∴AC＝26km．
故选：A．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的关键．
13．C
【分析】
在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，
∴AB2=AC2-BC2，
=1602-1282=9216，
∴AB=96（m），
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
14．A
【分析】
实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB=80m，
故选A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它.
15．D
【分析】
此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
解：如图，将台阶展开，
因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，
所以AB2＝AC2＋BC2＝225，
所以AB＝15，
所以蚂蚁爬行的最短线路为15．
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．
16．B
【分析】
要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求出所需结果．
解：如图，将长方体展开，连接A、B′，
则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm）， A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，
所以AB′＝10 cm．
故选：B．
【点拨】本题考查了平面展开−最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，构造直角三角形运用勾股定理解决．
17．A
【分析】
如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH=90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点拨】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
18．B
【分析】
过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长.．
19．102+（x-1）2=x2
【分析】
当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x-1）尺，根据勾股定理可列出方程．
解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x-1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2=AB2，
∴102+（x-1）2=x2，
故答案为：102+（x-1）2=x2．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
20．2.7
【分析】
先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米，
∴AD2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，
∴AB2+1.52=6.25，
∴AB2=4．
∵AB＞0，
∴AB=2米．
∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米．
故答案为 2.7．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
21．7.5；
【分析】
旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
解：如图，设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，
解得：x=7.5，
∴旗杆的高度为7.5m，
故答案为7.5．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．
22．6
【分析】
设，则,在中，利用勾股定理列方程，即可求解．
解：如图，
由题意知，，，
设，则,
在中，，
即，
解得，
因此旗杆在离底部6m位置断裂．
故答案为：6．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
23．
【分析】
由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可．
解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，
设BD＝x，则AD＝15－x，
∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，
即，
解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米），
答：树高为7.5米．
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键．
24．5m
【分析】
由题意根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC=AC，设BC=AC=xm，根据勾股定理求出x的值即可．
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5．
故答案为：5m．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
25．
【分析】
设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可
解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得：
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
26．
【分析】
根据勾股定理即可得出结论．
解：设未折断的竹干长为尺，
根据题意可列方程为：．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
27．13
【分析】
设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，根据勾股定理列方程求解即可．
解：根据题意，设水深OB=x尺，则芦苇长OA'=（x+1）尺，
根据题意列方程得：x2+52=（x+1）2，
解得：x=12
∴OA'=13尺．
故答案为：13．
【点拨】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意设出未知数，根据勾股定理列方程求解．
28．12
【分析】
设水深为h尺，则芦苇长为(h + 1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．
解：设水深为h尺，则芦苇长为(h+ 1)尺，
根据勾股定理，得
(h+ 1)2-h2=52
解得h = 12，
∴水深为12尺，
故答案是： 12．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．
29．170
【分析】
解：如图，根据题意得，，，
∴构成直角三角形，
根据勾股定理，得，
∴，
∴．
故答案为：170．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
30．正北或正南
【分析】
根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案．
解：根据题意作图如下，
AB=80m，BC=BD=60m，AC=AD=100m，
根据602+802=1002得：∠ABC=∠ABD=90°，
故小明向东走80m后是向正北或正南方向走的．
故答案为：正北或正南．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形并进行分析判断．
31．2
【分析】
根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可．
解：根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，
所以BC即为河水深度，，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得：BC=2（m），
故答案为：2．
【点拨】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键．
32．75
【分析】
设BC=xm，由题意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可．
解：设BC=x，由题意得AB=40m，AC=x+10
由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75．
故答案为75．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键．
33．17
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：，
解得．
故答案为：17．
【点拨】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
34．20
【分析】
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为16，宽为（3+1）×3，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2=162+[（3+1）×3]2=400，
解得x=20.
【点拨】本题主要考查了平面展开—最短路径问题以及勾股定理，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
35．超速
【分析】
根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案．
解：在中，，所以.
因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速.
【点拨】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，在本题中另外一个难点是单位的换算，.
36．20
解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
据勾股定理可得：BC=40（m），
故小汽车的速度为v==20m/s．
37．18
【分析】
过点A作AC⊥ON，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第一台到C点时，第二台到B点也开始有影响，第一台到D点，第二台到C点，直到第二台到D点噪音才消失．
解：
如图，过点A作AC⊥ON于N，
∵∠MON＝30°，OA＝80米，
∴AC＝40米，
当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB＝50米，
∴BC=30
第一台拖拉机到D点时噪音消失，
所以CD＝30米，
由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．
所以影响时间应是：90÷5＝18（秒）．
答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒．
故答案为：18．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
38．8
【分析】
过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，
∴影响时间应是：320÷40=8秒．
故答案为：8．
【点拨】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．
39．10
【分析】
连接OA，OB，OM，即为圆弧的半径，则根据勾股定理和已知条件，可得，圆弧的半径是，则有，即可得出半径为13，利用，即可求出MH，则可求出MN.
解：如图示：连接OA，OB，OM，并且CD交AB、MN与G、H两点，
根据对称性，有 ，，
∴，
设圆弧的半径是，即：，
∴，
由勾股定理可得：，即：，
解之得：，
∴,
由勾股定理可得：，即：，
解之得：，
∴
故答案为：10.
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，能熟练构造出直角三角形是解题的关键.
40．12
解：设AE=x千米,则BE=（36－x）千米,
在Rt△AEC中,CE2=AE2+AC2=x2+242,在Rt△BED中,
DE2=BE2+BD2=+122,
∵CE=ED,∴x2+242=+122,解得x=12,所以E站应建在距A站12千米的地方,能使蔬菜基地C,D到E的距离相等,故答案为12．
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