高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 柱、锥、台的体积课时练习

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 柱、锥、台的体积课时练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知直角三角形两直角边长分别为a、b，分别以这两个直角边为轴，旋转所形成的几何体的体积比为( B )
A．abB．ba
C．a3b3D．b3a3
[解析] 以a为轴的几何体的体积为eq \f(πb2a,3)，
以b为轴的几何体的体积为eq \f(πa2b,3)，∴体积比为ba.
2．圆锥SO的底面半径是1，高为2，则圆锥SO的体积是( A )
A．eq \f(2π,3)B．2π
C．4πD．6π
[解析] V圆锥＝eq \f(1,3)×π×12×2＝eq \f(2π,3).
3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是( B )
A．18＋6eq \r(2)B．6＋2eq \r(2)
C．24D．18
[解析] V棱台＝eq \f(1,3)×3×(2＋4＋eq \r(2×4))＝6＋2eq \r(2).
4．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为eq \r(3)，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( C )
A．3B．eq \f(3,2)
C．1D．eq \f(\r(3),2)
[解析] 本题考查三棱柱、三棱锥的体积问题．
由条件知底面B1DC1的面积为侧面面积的一半，即为eq \r(3)，而高为底面等边三角形的高，为eq \r(3)，
∴VA－B1DC1＝eq \f(1,3)×eq \r(3)×eq \r(3)＝1．
5．若圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则其体积是( C )
A．9eq \r(55)πB．9eq \r(55)
C．3eq \r(55)πD．3eq \r(55)
[解析] 设半径为r，∴2πr＝6π，∴r＝3.
∴h＝eq \r(l2－r2)＝eq \r(82－32)＝eq \r(55)，
∴V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×πr2h＝eq \f(1,3)×π×9×eq \r(55)＝3eq \r(55)π.
6.如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1V2＝( A )
A．75B．65
C．83D．43
[解析] 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝eq \f(1,4)S，
所以V1＝eq \f(1,3)heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(S＋\f(1,4)S＋\r(S·\f(S,4))))＝eq \f(7,12)Sh，V2＝V－V1＝eq \f(5,12)Sh.所以V1V2＝75.
二、填空题
7．正方体的棱长都增加1 cm，它的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长是 1 cm.
[解析] 设正方体的棱长为x cm，则(x＋1)3＝8x3，解得x＝1．
8．设正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 28eq \r(3) .
[解析] S上＝6eq \r(3)，S下＝24eq \r(3)，代入公式V＝eq \f(1,3)h·(S上＋S下＋eq \r(S上·S下))＝14eq \r(3)×2＝28eq \r(3).
9．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 eq \f(\r(3)π,3) .
[解析] 如图所示，则母线PA＝2，设圆锥底面半径为r，则有2πr＝eq \f(1,2)×2π×2，则r＝1，则圆锥的高h＝eq \r(PA2－OA2)＝eq \r(3)，所以圆锥的体积是eq \f(π,3)×12×eq \r(3)＝eq \f(\r(3)π,3).
三、解答题
10．如图所示，圆锥的轴截面为等腰Rt△SAB，Q为底面圆周上一点．
(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2eq \r(3)，求此圆锥的体积．
[解析] (1)证明：连接OC，
∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，∴QB⊥SC，QB⊥OC，
∴QB⊥平面SOC．
∵OH⊂平面SOC，∴QB⊥OH.
又OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB．
(2)连接AQ，∵Q为底面圆周上一点，AB为直径，
∴AQ⊥QB．在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2eq \r(3)，
∴AB＝eq \f(2\r(3),cs 30°)＝4.
∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝eq \f(1,2)AB＝2.
∴V圆锥＝eq \f(1,3)π·OA2·SO＝eq \f(8,3)π.
B 组·素养提升
一、选择题
1．若正方体的棱长为eq \r(2)，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( B )
A．eq \f(\r(2),6)B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(3),3)D．eq \f(2,3)
[解析] 由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为eq \f(\r(2),2)，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2×eq \f(1,3)×12×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),3).故选B．
2．三棱台ABC－A1B1C1中，ABA1B1＝12，则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体积之比为( C )
A．111B．112
C．124D．144
[解析] 设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \f(1,3)Sh，
VC－A1B1C1＝eq \f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq \f(4,3)Sh，
又V台＝eq \f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq \f(7,3)Sh，
∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1
＝eq \f(7,3)Sh－eq \f(Sh,3)－eq \f(4Sh,3)＝eq \f(2,3)Sh.
∴体积比为124.∴应选C．
3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( B )
A．14斛B．22斛
C．36斛D．66斛
[解析] 设圆锥底面半径为r，则eq \f(1,4)×2πr＝8，解得r＝eq \f(16,π)，所以米堆的体积为eq \f(1,4)×eq \f(1,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,π)))2×5≈eq \f(320,9)，故堆放的米约为eq \f(320,9)÷1．62≈22(斛)，故选B．
4．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为线段B1C上一动点，则( ACD )
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．异面直线B1C与A1C1所成角为45°
C．三棱锥P－A1DC1的体积为定值
D．平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1
[解析] 如图，连接B1D1，易知A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，
∴A1C1⊥平面BB1D1，则A1C1⊥BD1，同理DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
∵A1B1∥CD，且A1B1＝CD，∴四边形DA1B1C为平行四边形，
则B1C∥A1D，则∠DA1C1为异面直线B1C与A1C1所成角，为60°，故B错误；
∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1C1D，B1C eq \(⊂,/)平面A1C1D，
∴B1C∥平面A1C1D．
可得P到平面A1C1D的距离为定值，即三棱锥P－A1DC1的体积为定值，故C正确；
∵A1C1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1C1D，
由直线与平面平行的性质可得，平面A1C1D与底面ABCD的交线平行于A1C1，故D正确．
二、填空题
5．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是 10 .
[解析] 设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，
∴VE－BCD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)ab×eq \f(1,2)c＝eq \f(1,12)abc＝10.
6．如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降 0.6 cm.
[解析] 因为圆锥形铅锤的体积为eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2)))2×20＝60π(cm3)，
设水面下降的高度为xcm，则这部分水的体积为π×(20÷2)2×x＝100πx(cm3)．
所以有60π＝100πx，
解此方程得x＝0.6.
三、解答题
7．已知四棱锥的底面是边长为eq \r(2)的正方形，侧棱长均为eq \r(5).若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，求该圆柱的体积．
[解析] 如图所示，在四棱锥V－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面边长为eq \r(2)，可得OC＝1．
设M为VC的中点，过点M作MO1∥OC交OV于点O1，则O1即为圆柱上底面的中心．
∴O1M＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(1,2)，O1O＝eq \f(1,2)VO.
∵VO＝eq \r(VC2－OC2)＝2，∴O1O＝1．
可得V圆柱＝π·O1M2·O1O＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×1＝eq \f(π,4).
8．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N－BCM的体积．
[解析] (1)由已知得AM＝eq \f(2,3)AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知
TN∥BC，
TN＝eq \f(1,2)BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN eq \(⊂,/)平面PAB，所以MN∥平面PAB．
(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为eq \f(1,2)PA．
取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，
AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r(5).
由AM∥BC得M到BC的距离为eq \r(5)，
故S△BCM＝eq \f(1,2)×4×eq \r(5)＝2eq \r(5).
所以四面体N—BCM的体积VN－BCM＝eq \f(1,3)×S△BCM×eq \f(PA,2)＝eq \f(4\r(5),3).