(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习10《函数模型及其应用》(含详解)

这是一份(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习10《函数模型及其应用》(含详解)，共25页。试卷主要包含了常见的函数模型，几类函数模型的增长差异，函数模型的应用等内容，欢迎下载使用。

考点10 函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

一、常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
(为常数，)
反比例函数模型
(为常数且)
二次函数模型
（均为常数，）
指数函数模型
（均为常数，，，）
对数函数模型
（为常数，）
幂函数模型
（为常数，）
二、几类函数模型的增长差异
函数
性质　　



在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
先慢后快，指数爆炸
先快后慢，增长平缓
介于指数函数与对数函数之间,相对平稳
图象的变化
随x的增大，图象与轴接近平行
随x的增大，图象与轴接近平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个，当时，有
三、函数模型的应用
解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：
（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.
用框图表示如下：
数学问题
实际问题
建模
审题、转化、抽象
问题 解决 解模 运算

实际问题结论
数学问题答案
还原
结合实际意义

考向一 二次函数模型的应用
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.

典例1 山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格元/千克在本市收购了千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计元，而且香菇在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的香菇损坏不能出售.
（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式；
（2）李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放多少天后出售？（提示：利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）由题意得，与之间的函数关系式为： .
（2）由题意得，，
化简得，，
解得，（不合题意，舍去）.
因此，李经理如果想获得利润元，需将这批香菇存放天后出售.
（3）设利润为，则由（2）得，
，
因此当时，.
又因为，
所以李经理将这批香菇存放天后出售可获得最大利润，为元.

1．根据调查，某地区有300万从事传统农业的农民，人均年收入6000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作.据估计，如果有万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高，而进入企业工作的农民的人均年收入为元．
（1）在建立加工企业后，多少农民进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大，并求出最大值；
（2）为了保证传统农业的顺利进行，限制农民进入加工企业的人数不能超过总人数的，当地政府如何引导农民，即取何值时，能使300万农民的年总收入最大．
考向二 指数函数、对数函数模型的应用
（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.
（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.

典例2 一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林面积为.
（1）求p%的值;
（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
（3）今后最多还能砍伐多少年?
【解析】（1）由题意得,即,
解得 .
（2）设经过m年，森林面积变为,
则,即，解得m=5,
故到今年为止,已砍伐了5年.
（3）设从今年开始,以后还可砍伐n年,则n年后的森林面积为,
令,即,,,解得n≤15,
故今后最多还能砍伐15年.
典例3 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系为．已知后消除了的污染物，试求：
（1）后还剩百分之几的污染物．
（2）污染物减少所需要的时间．（参考数据：，，）
【解析】（1）由，可知时，，
当时，，
所以，
当时，，
所以个小时后还剩的污染物．
（2）当时，有，
解得，
所以污染物减少所需要的时间为个小时．

2．在标准温度和压力下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位：，记作）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位：，记作）的乘积等于常数.已知值的定义为，健康人体血液值保持在7.35～7.45之间，则健康人体血液中的可以为
（参考数据：，）
A．5 B．7
C．9 D．10
3．从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度(单位：米)与生长年限（单位：年，tÎN*）满足如下的逻辑斯蒂函数：，其中e为自然对数的底数.设该树栽下的时刻为0.
（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）
（2）在第几年内，该树长高最快？
考向三 分段函数模型的应用
（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．

典例4 某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.
（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；
（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？
【解析】（1）由题意可得：
当时，日销售量为，日销售利润为：；
当时，日销售量为，日销售利润为：；
当时，日销售量为，日销售利润为：.
综上可得：
（2）当时，由，解得；
当时，由，解得；
当时，，无解.
故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于元.

4．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（Ⅰ）求的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
考向四 函数模型的比较
根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.

典例5 某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量（单位：万件）与月份的关系. 模拟函数；模拟函数.
（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？
（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.
【解析】（1）若用模拟函数1：，
则有，解得，
即，
当时，．
若用模拟函数2：，
则有，解得，
即，
当时，．
所以选用模拟函数1较好．
（2）因为模拟函数1：是单调增函数，所以当时，生产量远大于他的最高限量；
模拟函数2：也是单调增函数，但生产量，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：好．
当时，，
所以预测6月份的产量为万件.

5．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115.
（1）你认为谁选择的模型较好？需说明理由
（2）至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题．


1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x
1.99
2.8
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下4个模拟函数：
①y=0.6x-0.2；②y=x2-55x+8；③y=log2x；④y=2x-3.02．
请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选
A． B．
C． D．
2．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为；超过280万元的部分按征税．现有一家公司的实际缴税比例为，则该公司的年收入是
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
3．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：，，)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
4．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为（为常数），通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为

A．35 B．30
C．25 D．20
5．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为
A．元 B．元
C．元 D．元
6．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
可以享受折扣优惠金额
折扣率
不超过500元的部分

超过500元的部分

若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为
A．1500元 B．1550元
C．1750元 D．1800元
7．衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积随时间的变化规律是（为自然对数的底数），其中为初始值.若，则的值约为 ____________.(运算结果保留整数，参考数据：
8．某种产品的产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售量变化情况.有下叙述：

（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；
（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.
你认为较合理的是          （把你认为合理结论的序号都填上）.
9．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示.

（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？
（3）现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所得的利润，当为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金）







10．某电动小汽车生产企业，年利润（出厂价投入成本）年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万/辆，年销售量为辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应提高的比例为.同时年销售量增加的比例为.
（1）写出本年度预计的年利润（万元）与投入成本增加的比例的函数关系式；
（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？






11．习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”. 目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某行业计划从 2018 年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为 .
（1）设年后（2018 年记为第 1 年）年产能为 2017 年的倍，请用表示；
（2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2017 的 25%？
参考数据：,.









12．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律： ．
（1）如果，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；
（2）若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．










13．某小型机械厂有工人共名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产台机器，除工人工资外，还需投入成本为(万元)，且每台机器售价为万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量的函数解析式；
（2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？








14．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即：设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) 75恒成立;③恒成立．
（1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;
（2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围．







1．（2019年高考北京理数）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

变式拓展

1．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由题意，如果有万人进入企业工作，设从事传统农业的所有农民的总收入为y万元，
则，
则图象的对称轴为，抛物线开口向下，
即当时，y取得最大值为万元．
即由100万人进入企业工作，能够使剩下从事传统农业的所有农民的总收入最大，最大为2400000万元．
（2）设300万农民的总收入为，，
则，
易知图象的对称轴为，
①当时，，当时，取得最大值；
②当时，，当时，取得最大值．
综上，当时，，能使300万农民的年总收入最大；当时，，能使300万农民的年总收入最大.
2．【答案】B
【解析】由题意可知，，且，
所以，
因为，所以，
，
分析比较可知，所以可以为7.
故选B．
3．【答案】（1）8年；（2）第四年内或第五年内.
【解析】（1）令，解得，
即需要经过8年，该树的高度才能超过5米.
（2）当N*时，.
设，则，.
令，则.
上式当且仅当时，取得最大值，
此时，，即，解得.
由于要求为正整数，故树木长高最快的可能值为4或5，
又，，
所以，该树在第四年内或第五年内长高最快．
4．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．
【解析】（Ⅰ）由已知
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.
当时，；
当时， ，
当且仅当，即时等号成立．
因为，所以当时，．
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．
5．【答案】（1）应将作为模拟函数，理由见解析；（2）个月.
【解析】（1）由题意，把，2，3代入得：，
解得，，，
所以，
所以，，
；
把，2，3代入，得：，
解得，，，
所以，
所以，，.
、、更接近真实值，
应将作为模拟函数．
（2）令，解得，
至少经过11个月，患该传染病的人数将会超过2000人．
考点冲关

1．【答案】C
【解析】根据表中数据，画出图象如下：

通过图象可以看出，y=log2x能比较近似地反映这些数据的规律．
故选C．
2．【答案】D
【解析】设该公司的年收入为a万元，则280p%+（a﹣280）（p+2）%=a（p+0.25）%，
解得a==320．
故选D．
3．【答案】B
【解析】若年是第一年，则第年科研费为，
由，可得，得，
即年后，到年科研经费超过万元.
故选B．
4．【答案】C
【解析】由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一段线段，
当t≥5时，函数的解析式为，
将点（5，100）和点（15，60）代入解析式，得，
解得a＝5,b=20，
故函数的解析式为，t≥5．
令y=40，解得t=25,
∴最少需要的时间为25min．
故选C．
5．【答案】D
【解析】设定价在进价的基础上增加x元，日销售利润为y元，则y=x[480﹣40（x﹣1）]﹣200，
由于x＞0，且520﹣40x＞0，所以0＜x＜13.
即y=﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．
所以，当时，y取最大值．
∴销售单价应定为元.
故选D.
6．【答案】A
【解析】设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，
由题设可知：，
因为，所以，
所以，解得，
故此人购物实际所付金额为（元）.
故选A．
7．【答案】11
【解析】由题意，设一个樟脑丸的体积变为时，需要经过的时间为，
则，即，所以，
所以.
8．【答案】（2），（3）
【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线斜率大，上升快，斜率小，上升慢，所以随着的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重.
9．【答案】（1），；（2）详见解析；（3）千万元时，公司所获利润最大，最大利润千万元.
【解析】（1）由已知易得生产芯片的毛收入为；
将，代入，得
所以，生产芯片的毛收入.
（2）由，得；
由，得；
由，得.
所以，当投入资金大于万元时，生产芯片的毛收入大；
当投入资金等于千万元时，生产、芯片的毛收入相等；
当投入资金小于千万元时，生产芯片的毛收入大.
（3）公司投入亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产芯片，公司所获利润 ，
故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为千万元.
10．【答案】（1）（）；每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是万元.
【解析】（1）由题意，得（），
即（）.
（2）.
∴当时，取得最大值，为，
∴每辆车投入成本增加的比例为时，本年度的年利润最大，且最大年利润是万元.
11．【答案】（1）；（2）至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
【解析】（1）依题意得：，则，则.
（2）设年后年产能不超过2017年的25%，则，即，
即，，
则，，
∵，且，
∴的最小值为14.
答：至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.
12．【答案】（1）1分钟；（2）.
【解析】（1）若，则，
当时，，
令，则，
即，解得或 (舍去)，
此时.
所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．
（2）物体的温度总不低于2摄氏度，即恒成立，
亦恒成立，亦即恒成立．
令，则，所以，
由于，所以.
因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是.
13．【答案】（1）；（2）当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元.
【解析】（1）依题意有.
（2）当时，
此时时，取得最大值，为万元；
当时，，
当且仅当时，即时，取得最大值，为万元．
综上可知，当年产量为100台时，该厂在生产中获利最大，最大利润为850万元．
14．【答案】（1）函数模型不符合公司要求，详见解析；（2）[1，2].
【解析】（1）对于函数模型，
当x∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，
则f (x) ≤f (1600) ≤75，显然恒成立，
若函数恒成立，即，解得x≥60，
∴不恒成立，
综上所述，函数模型满足基本要求①②，但是不满足③，
故函数模型不符合公司要求．
（2）当x∈[25，1600]时，单调递增，
∴最大值，∴，
设恒成立，∴恒成立，即，
∵，当且仅当x=25时取等号，∴a2≤2+2=4，
∵a≥1，∴1≤a≤2，
故a的取值范围为[1，2].
直通高考

1．【答案】①130；②15
【解析】①时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付元.
②设顾客一次购买水果的促销前总价为元，
当元时，李明得到的金额为，符合要求；
当元时，有恒成立，
即，
因为，所以的最大值为.
综上，①130；②15.
【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.