(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习11《导数的概念及计算》(含详解)

考点11 导数的概念及计算

1．导数概念及其几何意义

（1）了解导数概念的实际背景.

（2）理解导数的几何意义.

2．导数的运算

（1）能根据导数定义求函数y=C（C为常数），的导数.

（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数.

• 常见基本初等函数的导数公式：

；

；

；

.

• 常用的导数运算法则：

法则1：.

法则2：.

法则3：.

一、导数的概念

1．平均变化率

函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为.

2．瞬时速度

一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.

3．瞬时变化率

4．导数的概念

一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即.

【注】函数在处的导数是在处的瞬时变化率.

5．导函数的概念

如果函数在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数，于是在区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数(简称导数)，记为或，即.

二、导数的几何意义

函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.

【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．

（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y−y0=f ′(x0)(x−x0)；

（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：

第一步：设出切点坐标P′(x1，f (x1))；

第二步：写出过P′(x1，f (x1))的切线方程为y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)；

第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；

第四步：将x1的值代入方程y−f (x1)=f ′(x1)(x−x1)，可得过点P(x0，y0)的切线方程．

三、导数的计算

1．基本初等函数的导数公式

2．导数的运算法则

（1）.

（2）.

（3）.

3．复合函数的导数

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

考向一   导数的计算

1．导数计算的原则和方法

（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．

（2）方法：

①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；

②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；

③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；

④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；

⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.

2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤

（1）关键环节：

①中间变量的选择应是基本函数结构；

②正确分析出复合过程；

③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；

④善于把一部分表达式作为一个整体；

⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.

（2）方法步骤：

①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；

②求每一层基本初等函数的导数；

③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.

典例1  求下列函数的导函数：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【解析】（1）∵，∴；

（2）由题得，则.

（3）.

（4）.

【名师点睛】熟记基本初等函数的求导公式，导数的四则运算法则是正确求导数的基础.

（1）运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数在开区间(a,b)内的导数的基本步骤：

①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导公式和运算法则求导；③整理得结果.

（2）对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.

1．函数的导数是

A． B．

C． D．

2．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于

A．  B．

C．  D．

考向二   导数的几何意义

求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法

（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；

（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；

（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．

（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．

（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.

②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．

典例2  已知函数.

（1）求这个函数的图象在处的切线方程；

（2）若过点的直线与这个函数图象相切，求直线的方程.

【解析】（1），

当时，，

∴这个函数的图象在处的切线方程为.

（2）设直线与这个函数的图象的切点为，

则直线的方程为，

由直线过点，得，

∴，∴，∴，

则直线的斜率为，从而直线的方程为.

【规律总结】求切线方程的步骤：

(1)利用导数公式求导数．

(2)求斜率．

(3)写出切线方程．

注意导数为0和导数不存在的情形．

3．若为奇函数，则曲线在处的切线的斜率为

A．  B．

C．  D．

1．函数在处的导数是

A．0     B．1

C．     D．

2．若曲线在点处的切线的斜率为，则

A．2   B．3

C．4   D．5

3．已知函数的图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是

A． B．

C． D．

4．设是上的偶函数，当时，，则在处的切线方程为

A．  B．

C．  D．

5．已知在上连续可导，为其导函数，且，则

A．   B．

C．0   D．

6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137含量的变化率为(太贝克/年)，则

A．5太贝克           B．太贝克

C．太贝克        D．150太贝克

7．已知过点且与曲线相切的直线的条数有

A．0   B．1

C．2   D．3

8．设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为

A．     B．

C．     D．

9．已知函数的导函数为，且满足，则_________．

10．曲线的切线方程为，则实数的值为_________．

11．若点P是函数y=图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l斜率的取值范围是_________．

12．已知曲线，求:

（1）曲线在点处的切线方程；

（2）曲线过点的切线方程.

13．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．

（1）求和的值；

（2）求函数的解析式．

1．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．   B．a=e，b=1

C．   D．，

2．（2018年高考全国Ⅰ卷理数）设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为

A． B．

C． D．

3．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）曲线在点处的切线方程为____________．

4．（2018年高考全国Ⅱ卷理数）曲线在点处的切线方程为__________．

5．（2018年高考全国Ⅲ卷理数）曲线在点处的切线的斜率为，则________．

6．（2019年高考江苏）在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是  ▲   .

7．（2019年高考北京理数节选）已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

1．【答案】C

【解析】根据题意，，

其导数，

故选C．

【名师点睛】本题考查导数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.根据导数运算法则求解即可.

2．【答案】A

【解析】由可得，

当时，，解得：，则，

故，

故选A.

【名师点睛】本题主要考查导数的计算，解题的关键是理解为一个常数，考查学生的基本的计算能力，属于基础题.求解时，对求导，取，求出，再取，即可求出.

3．【答案】D

【解析】是奇函数，，，，∴，.

∴曲线在处的切线的斜率为4.故选D.

【名师点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查求导和切线的斜率的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.求解时，先根据函数的奇偶性求出a=2，再求出函数的导数和切线的斜率.

1．【答案】C

【解析】因为，故选C．

2．【答案】D

【解析】∵，，

故选D.

【名师点睛】本题考查了曲线的切线方程，熟悉函数的导函数的几何意义以及求导函数是解题的关键，属于基础题.求解时，先求其导函数，再将x=1代入其斜率为，可得答案.

3．【答案】C

【解析】结合函数的图象可知过点的切线的倾斜角较大，过点的切线的倾斜角较小，又因为过点的切线的斜率，过点的切线的斜率，直线的斜率，故，应选C.

4．【答案】D

【解析】由是上的偶函数得，当时，，，则，，，故在处的切线方程为，即，故选D.

【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解曲线的切线问题，一般是先求切线的斜率，再利用点斜式求解切线.解答本题时，结合偶函数的特点先求出时的解析式，然后再求解处的切线.

5．【答案】C

【解析】对x求导数得，

f ′（﹣x）＝=﹣f ′（x），

所以f ′（x）是R上的奇函数，

则f ′（0）＝0，f ′（﹣2）＝﹣f ′（2），即f ′（2）+f ′（﹣2）＝0，

所以f '（2）+f '（﹣2）﹣f '（0）f '（1）＝0，

故选C．

【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.求解时，根据条件判断函数f ′（x）的奇偶性，利用奇偶性的性质进行求解即可．

6．【答案】D

【解析】因为，所以，解得.所以，所以时，铯137的含量为（太贝克）.

7．【答案】C

【解析】若直线与曲线切于点，则，

又∵，∴，∴，解得，，

∴过点与曲线相切的直线方程为或，

故选C．

【名师点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解本题时，设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程．

8．【答案】C

【解析】因为切线，的切点分别为而，所以.

因为，所以(.

因为，所以，因此，选C．

9．【答案】

【解析】求导得，把代入得，解得．

10．【答案】2

【解析】根据题意，设曲线与的切点的坐标为导数为，则切线的斜率 ，
又由切线方程为，即则
则切线的方程为
又由，得切线方程为，即

则有，解得，
则切点的坐标为，则有，.

11．【答案】

【解析】∵

．

∵1＜sin2x≤1，∴0＜1+sin2x≤2，∴，

则，∴直线l斜率的取值范围是[1，+∞）．

故答案为．

【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究曲线的切线的斜率问题，侧重考查数学运算的核心素养.求解时，先求导数，结合导数的几何意义可知，导数的范围就是切线的斜率的范围.

12．【解析】（1）的导数为，

所以曲线在点处的切线的斜率为，

则曲线在点处的切线方程为，

即为.

（2）设切点为，所以，

所以切线方程为，

所以，

所以，

所以，

所以切线方程为.

【名师点睛】本题考查导数的运用，求切线的方程，掌握导数的几何意义，同时考查直线的点斜式方程，属于基础题．

（1）求出函数的导数，令求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线的方程；

（2）设切线的切点(a，)，再利用已知求出a的值得解.

13．【解析】（1）∵在点处的切线方程为，

故点在切线上，且切线斜率为，

得且．

（2）∵过点，

∴，

∵，

∴，

由得，

又由，得，

联立方程得，解得，

故．

1．【答案】D

【解析】∵

∴切线的斜率，，

将代入，得.

故选D．

【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.

2．【答案】D

【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.

故选D.

【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.

3．【答案】

【解析】

所以切线的斜率，

则曲线在点处的切线方程为，即．

【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．

4．【答案】

【解析】

则所求的切线方程为.

【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知的曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

5．【答案】

【解析】，则，所以.

【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.

6．【答案】4

【解析】由，得，

设斜率为的直线与曲线切于，

由得（舍去），

∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.

故答案为．

【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.

7．【解析】（Ⅰ）由得.

令，即，得或.

又，，

所以曲线的斜率为1的切线方程是与，

即与.