高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质课后练习题

第四章　§3　3.3

A　组·素养自测

一、选择题

1．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　A　)

A．奇函数，且在(0，1)上是增函数

B．奇函数，且在(0，1)上是减函数

C．偶函数，且在(0，1)上是增函数

D．偶函数，且在(0，1)上是减函数

[解析]　由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1，1)，且f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0，1)上为增函数，故f(x)在(0，1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，选A．

2．已知函数y＝loga(x＋1)＋3＋x(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则b＝(　C　)

A．0　 B．1

C．2　 D．3

[解析]　令x＋1＝1，则x＝0，

y＝3，∴A(0，3)．

∴3＝20＋b，∴b＝2.

3．已知loga>logb>0，则a，b的取值范围是(　C　)

A．1<b<a　 B．1<a<b

C．0<b<a<1　 D．0<a<b<1

[解析]　由loga>logb>0，得－loga3>－logb3>0，得loga3<logb3<0，得<<0，得log3b<log3a<0，得0<b<a<1.

4．函数y＝log(2x2－3x＋1)的单调减区间为(　A　)

A．(1，＋∞)　 B．

C．　 D．

[解析]　由2x2－3x＋1>0得(2x－1)(x－1)>0，解得x<或x>1.设t＝2x2－3x＋1＝2－，所以函数t的单调递增区间为(1，＋∞)．又y＝logt为减函数，故y＝log(2x2－3x＋1)的单调递减区间为(1，＋∞)．

5．函数y＝ln的图象为(　A　)

[解析]　易知2x－3≠0，即x≠，排除C、D项．当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数，所以选A．

二、填空题

6．函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2，3]上的最大值为1，则a＝__3__．

[解析]　当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，

则loga3＝1，∴a＝3＞1，∴a＝3符合题意；

当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，

则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意

7．若函数y＝log0.5(x2－6x＋13)的定义域为[2，5]，则该函数的值域是__[－3，－2]__．

[解析]　y＝log0.5(x2－6x＋13)＝log0.5[(x－3)2＋4]，而当x∈[2，5]时，(x－3)2＋4∈[4，8]，令y＝log0.5t，则t∈[4，8]，因为该函数是减函数，所以该函数的值域是[log0.58，log0.54]，即[－3，－2]．

8．使得log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是__(－1，0)__．

[解析]　在同一直角坐标系内画出函数y1＝log2(－x)及y2＝x＋1的图象，如图．

结合定义域及图象知－1<x<0.

三、解答题

9．设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝logx.

(1)求当x<0时，f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x)≤2.

[解析]　(1)当x<0时，－x>0，则

f(－x)＝log(－x)，

又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－log(－x)．故当x<0时，f(x)＝－log(－x)．

(2)由题意及(1)知，原不等式等价于

，或，

解得x≥或－4≤x<0.

∴不等式的解集.

10．若f(x)＝x2－x＋b且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a≠1)，求f(log2x)的最小值及对应的x值．

[解析]　∵f(x)＝x2－x＋b，

∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b，

∴(log2a)2－log2a＋b＝b，∴log2a(log2a－1)＝0，

∵a≠1，∴log2a－1＝0，∴a＝2.

又log2f(a)＝2，∴f(a)＝4，

∴a2－a＋b＝4，∴b＝4－a2＋a＝2，

故f(x)＝x2－x＋2.

从而f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2

＝＋.

∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值.

B　组·素养提升

一、选择题

1．设a＝()1.2，b＝log3，c＝ln，则a，b，c的大小关系是(　D　)

A．a>b>c　 B．c>b>a

C．c>a>b　 D．a>c>b

[解析]　根据指数函数和对数函数的性质，可得a＝()1.2＝20.6>20＝1，b＝log3<log31＝0，0<c＝ln<lne＝1，∴a>c>b.

2．若对任意的实数x，都有loga(ex＋3)≥1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是(　B　)

A．　 B．(1，3]

C．(1，3)　 D．[3，＋∞)

[解析]　∵loga(ex＋3)≥1＝logaa对任意实数x都成立，∴a>1且a≤ex＋3，又ex＋3>3，∴1<a≤3.

3．(多选题)函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，那么(　AD　)

A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值

B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值

C．f(x)在定义域内是偶函数

D．f(x)的图象关于直线x＝1对称

[解析]　由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．

设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，

且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)的图象关于x＝1对称，D正确；

由上述分析知f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误．

又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误，故选AD．

4．(多选题)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2－3，则下列说法正确的是(　ABC　)

A．f(4)＝－3

B．函数y＝f(x)的图象与x轴有两个交点

C．函数y＝f(x)的最小值为－4

D．函数y＝f(x)的最大值为4

[解析]　A正确，f(4)＝(log24)2－log242－3＝－3；B正确，令f(x)＝0，得(log2x＋1)(log2x－3)＝0，解得x＝或x＝8，即f(x)的图象与x有两个交点；C正确，因为f(x)＝(log2x－1)2－4(x>0)，所以当log2x＝1，即x＝2时，f(x)取最小值－4；D错误，f(x)没有最大值．故选ABC．

二、填空题

5．已知f(x)＝|log2x|，若f(a)>f(4)，则a的取值范围是__∪(4，＋∞)__．

[解析]　∵f(4)＝|log24|＝2.

∴不等式化为f(a)>2，即|log2a|>2，∴log2a>2或log2a<－2，∴a>4或0<a<.

6．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝__1__．

[解析]　∵f(x)为偶函数，

∴f(－1)＝f(1)，

∴－ln(－1＋)＝ln(1＋)，

∴ln(1＋)＋ln(－1＋)＝0，

∴ln[()2－1]＝0，

∴lna＝0，∴a＝1.

7．(2022·云南云天化中学高一期末测试)设函数f(x)＝，则f[f(2)]＝__2__．

[解析]　∵x≥2时，f(x)＝log3(x2－1)，

∴f(2)＝log33＝1，

∴f[f(2)]＝f(1)，

又∵x<2时，f(x)＝2ex－1，

∴f(1)＝2e0＝2，

∴f[f(2)]＝f(1)＝2.

三、解答题

8．已知函数f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1)．

(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明；

(3)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围．

[解析]　(1)使函数f(x)－g(x)有意义，

必须有解得－＜x＜.

所以函数f(x)－g(x)的定义域是.

(2)f(x)－g(x)为奇函数．证明：由(1)知函数f(x)－g(x)的定义域关于原点对称．

f(－x)－g(－x)＝loga(3－2x)－loga(3＋2x)＝－[loga(3＋2x)－loga(3－2x)]＝－[f(x)－g(x)]，

∴函数f(x)－g(x)是奇函数．

(3)f(x)－g(x)＞0，即loga(3＋2x)＞loga(3－2x)．

当a＞1时，有

解得x的取值范围是.

当0＜a＜1时，有

解得x的取值范围是.

综上所述，当a＞1时，x的取值范围是；

当0＜a＜1时，x的取值范围是.

9．(2022·江苏宿迁市高一期末测试)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)为偶函数．

(1)求实数a的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性．

[解析]　(1)∵f(x)为偶函数，

∴f(－x)＝f(x)，

∴ln(1－x)＋ln(a＋x)＝ln(1＋x)＋ln(a－x)，

∴ln(1－x)－ln(1＋x)＝ln(a－x)－ln(a＋x)，

∴ln＝ln，

∴＝，

整理得2x(a－1)＝0，

∵x不恒为0，∴a－1＝0，∴a＝1.

(2)由(1)知f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，

要使函数f(x)有意义，应满足∴－1<x<1.

∴函数f(x)的定义域为(－1，1)．

设任意x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2，

∴f(x2)－f(x1)＝ln(1＋x2)＋ln(1－x2)－ln(1＋x1)－ln(1－x1)

＝ln(1－x)－ln(1－x)

当－1<x1<x2<0时，x>x，1－x<1－x，

∴ln(1－x)>ln(1－x)，

∴ln(1－x)－ln(1－x)>0，

∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，

∴f(x)在(－1，0)上是增函数，

当0≤x1<x2<1时，

x<x，∴1－x>1－x，

∴ln(1－x)>ln(1－x)，

∴ln(1－x)－ln(1－x)<0，

∴f(x2)－f(x1)<0，∴f(x2)<f(x1)，

∴f(x)在[0，1)上是减函数．

综上可知，函数f(x)在(－1，0)上是增函数，在[0，1)上是减函数．