高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课时作业，共6页。
课时跟踪检测（二）  空间向量的数量积运算1．[多选]下列各命题中，正确的命题是(　　)A．＝|a|B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)C．a·(b＋c)＝(b＋c)·aD．a2b＝b2a解析：选ABC　∵a·a＝|a|2，∴＝|a|，故A正确．m(λa)·b＝(mλa)·b＝mλa·b＝(mλ)a·b，故B正确．a·(b＋c)＝a·b＋a·c，(b＋c)·a＝b·a＋c·a＝a·b＋a·c＝a·(b＋c)，故C正确．a2·b＝|a|2·b，b2·a＝|b|2·a，故D不一定正确．2．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　 )A．－6  B．6C．3  D．－3解析：选B　由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　 )A．a2   B．a2C．a2   D．a2解析：选C　·＝(＋)·＝(·＋·)＝＝a2.4．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱的长度都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是(　　 )A．2   B．C．   D． 解析：选C　由于＝＋＋，所以||＝＝＝，即EF的长是.5.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　 )A．6  B．6C．12  D．144解析：选C　因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12.6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.答案：227.如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则·＝________.解析：＝＋＋，·＝·＋·＋2＝4×3×cos 60°＋0＋×42＝14.答案：148．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是________．解析：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，|a|＝＝＝＝＝，|b|＝＝＝＝＝.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∴〈a，b〉＝120°.答案：120°9.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1.(1)求〈，〉的余弦值；(2)求证：BD1⊥EF.解：(1)＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－.因为·＝0，·＝0，·＝0，所以·＝·＝.又||＝||＝，所以cos〈，〉＝.(2)证明：因为＝＋＝－＋，＝＋＝－(＋)，所以·＝0，所以⊥.即BD1⊥EF.10.如图，正四棱锥P­ABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明：BD⊥PC；(2)求|＋|的值．解：(1)证明：∵＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＝||||·cos 60°＋||||cos 120°＝a2－a2＝0.∴BD⊥PC.(2)∵＋＝＋＋，∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|＋|＝a.1．[多选]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，则下列命题正确的是(　　)A．(＋＋)2＝32B．·(－)＝0C．与的夹角为60°D．正方体的体积为|··|解析：选AB　如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为||||||.综上可知，A、B正确．2．设空间上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　 )A．直角三角形  B．等腰三角形C．等腰直角三角形  D．等边三角形解析：选B　因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以(＋)·(－)＝||2－||2＝0，所以||＝||，即△ABC是等腰三角形．3.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________.解析：法一：连接A1D，则∠PA1D就是与所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°.因此·＝××cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1. 由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°.答案：60°　14.在四面体OABC中，各棱长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．解：取＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝.又∵＝(a＋b)，＝c－b，∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－|b|2＝－.又||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝－，∵异面直线夹角的范围为，∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.5．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0，同理可得·＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°.又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；当〈，〉＝120°时，||2＝2，此时B，D间的距离为.