高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示随堂练习题

课时跟踪检测（五）  空间向量运算的坐标表示

1．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则a－b＋2c＝(　　 )

A．(－9，－3,0)　　　　　 B．(0,2，－1)

C．(9,3,0)  D．(9,0,0)

解析：选C　a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)．

2．[多选]若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(　　 )

A．cos〈a，b〉＝－  B．a⊥b

C．a∥b  D．|a|＝|b|

解析：选AD　∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos〈a，b〉＝＝＝－. 由上知B不正确，A、D正确．C显然也不正确．

3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为(　　)

A．30°　　　　  B．45°

C．60°　　　　  D．90°

解析：选C　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，

∴||＝3，||＝，·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos〈，〉＝＝.

∵0°≤〈，〉≤180°，∴〈，〉＝60°.

4．若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为(　　 )

A.  B．－

C．2  D．±

解析：选D　因为＝(－6,1,2k)，＝(－3,2，－k)，

则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，所以k＝±.

5．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)

A．30°  B．60°

C．120°  D．150°

解析：选C　a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°.

6．若m＝(2，－1,1)，n＝(λ，5,1)，且m⊥(m－n)，则λ＝________.

解析：由已知得m－n＝(2－λ，－6,0)．

由m·(m－n)＝0得，2(2－λ)＋6＋0＝0，所以λ＝5.

答案：5

7．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．

解析：a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．

答案：(－∞，－2)

8．已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________.

解析：因为＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，＝(2，－2,6)，由A，B，C三点共线，得∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0.

答案：0　0

9.已知正三棱柱ABC­A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求三棱柱的侧棱长；

(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．

解：(1)设正三棱柱的侧棱长为h，

由题意得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，B1(，0，h)，C1(0,1，h)，

则＝(，1，h)，＝(－，1，h)，

因为AB1⊥BC1，所以·＝－3＋1＋h2＝0，

所以h＝.

(2)由(1)可知＝(，1，)，＝(－，1,0)，

所以·＝－3＋1＝－2.

因为||＝，||＝2，

所以cos〈，〉＝＝－.

所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.

10.如图，已知四棱台ABCD­A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上．若P是DD1的中点．证明：AB1⊥PQ.

证明：由题设知，AA1，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B1(3,0,6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)，Q(6，m,0)，其中m＝BQ，0≤m≤6.

因为P是DD1的中点，

所以P，＝.

又＝(3,0,6)，于是·＝18－18＝0，

所以⊥，即AB1⊥PQ.

1．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　 )

A．   B．

C．   D．

解析：选D　∵a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，

所以解得∴λ＝3x－2y＝.

2．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(－1,0，)，则角A的大小为________．

解析：由题意，知＝，＝(－1,0,0)，所以||＝1，||＝1.则cos A＝＝＝，故角A的大小为30°.

答案：30°

3．已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0,0,0)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标为________．

解析：设＝λ＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．

则·＝6λ2－16λ＋10＝62－，

当·取最小值时，λ＝，此时点Q的坐标为.

答案：

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O1是A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，并且B1E1＝B1C1，求BE1与CO1所成的角的余弦值．

解：不妨设AB＝1，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0，0)，E1，

C(1,1,0)，O1，

＝，＝，

∴·＝·＝，

||＝ ，||＝ .

∴cos〈，〉＝＝.

即BE1与CO1所成角的余弦值为.

5.如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB.求PA的长．

解：如图，连接BD交AC于O，

因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，

又AC平分∠BCD，故AC⊥BD.

以O为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz.

因为OC＝CDcos ＝1，AC＝4，

所以AO＝AC－OC＝3，

又OB＝OD＝CDsin ＝，

故A(0，－3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)．

由PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，其中z>0.

由F为PC的中点，得F，

所以＝，＝(，3，－z)．

又AF⊥PB，所以·＝0，即6－＝0，

解得z＝2或z＝－2(舍去)．

所以＝(0,0，－2)，则||＝2.

所以PA的长为2.