2020-2021学年1.2 空间向量基本定理测试题

这是一份2020-2021学年1.2 空间向量基本定理测试题，共9页。试卷主要包含了易知平面PAB的法向量为n1＝等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测（八）  用空间向量研究空间角问题1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为(　　 )A．30°　　　　　　　　 B．150°C．30°或150°  D．以上均不对解析：选A　 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角θ的范围为0°<θ≤90°．故选A.2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为(　　 )A．   B．C．   D．解析：选A　设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则A1(0,0,0)，E(1,2,0)，F(1,0，2)，＝(1,2,0)，＝(1,0,2)，设平面A1ECF的一个法向量n＝(x，y，z)，则即令x＝－2，得y＝1，z＝1，所以平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2,1,1)，又A1B1的方向向量为(2,0,0)，设A1B1与截面A1ECF所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，cos θ＝，∴tan θ＝.3.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是(　　 )A．   B．C．   D．解析：选D　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，设棱长为1，A1(1,0,1)，M，D(0,0,0)，N，则＝，＝，cos〈，〉＝＝0.  ∴〈，〉＝.4．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD夹角的大小为(　　 )A．30°  B．45°C．60°  D．90°解析：选B　建系如图，设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)．易知平面PAB的法向量为n1＝(1,0,0)．设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，则得令x＝1，则z＝1，∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝.∴平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为.∴此角的大小为45°.5.如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D­AB­E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝(　　 )A．1   B．C．   D．解析：选C　不妨设BC＝1，AB＝λ，则＝λ.记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，∴|cos〈，〉|＝＝＝，得λ＝.故选C.6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.答案：7．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉＝________.解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2.则C(0,2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2,2,1)．∴＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)．cos〈，〉＝＝－.∴sin〈，〉＝.答案：8．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为________．解析：由题意得＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由知令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝.因为平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)．所以平面ABC与平面xOy的夹角的余弦值为＝.答案：9.如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．解：(1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD.因为BO＝DO，BC＝CD，所以CO⊥BD.在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD.(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)，所以cos〈，〉＝＝，所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.10．(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角A­MA1­N的正弦值．解：(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，＝(0,0，－4)，＝(－1，，－2)，＝(－1,0，－2)，＝(0，－，0)．设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m＝(，1,0)．设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角A­MA1­N的正弦值为.1.如图所示，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则平面PBC与平面BFD夹角的正切值为(　　)A．   B．C．  D．解析：选D　如图所示，设AC与BD交于O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O­xyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0,0,0)，B，F，C，＝，易知为平面BFD的一个法向量，由＝，＝，可得平面PBC的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，＝，sin〈n，＝，所以tan〈n，＝.2．在三棱锥P­ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为(　　)A．   B．C．   D．解析：选D　不妨设AB＝BC＝PA＝2，∵OP⊥底面ABC，∴PO＝.根据题意，以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示．则A(2,0,0)，B(0,0,0)，C(0,2,0)，P(1,1，)．∵点O，D分别是AC，PC的中点，∴＝＝.又＝(0,2,0)，＝(1,1，)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(－，0,1)，∴cos〈n，〉＝＝，∴sin θ＝(θ为OD与平面PBC所成的角)，故选D.3.如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝. 求平面SAB与平面SCD夹角的余弦值．解：如图，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，S(0,0,1)，C(1,1,0)，D，＝，＝(1,1，－1)．设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，所以所以令z＝1，得n＝(2，－1,1)．因为＝是平面SAB的一个法向量，所以cos〈，n〉＝.所以平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为.4.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B­A1D­A的正弦值．解：在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.如图，以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系A­xyz.因为AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°，则A(0,0,0)，B(，－1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)．(1)＝(，－1，－)，＝(，1，)．则cos〈，〉＝＝＝－.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为＝(，0,0)．设m＝(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又＝(，－1，－)，＝(－，3,0)，则即不妨取x＝3，则y＝，z＝2，所以m＝(3，，2)为平面BA1D的一个法向量，从而cos〈，m〉＝＝＝.设二面角B­A1D­A的大小为θ，则|cos θ|＝.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝.因此二面角B­A1D­A的正弦值为.5.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明：PC⊥AD；(2)求平面PAC与平面PCD夹角的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．解：如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0，2)．(1)证明：易得＝(0,1，－2)，＝(2,0,0)，则·＝0，所以PC⊥AD.(2)易得＝(0,1，－2)，＝(2，－1,0)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．由得令z＝1，可得n＝(1,2,1)．又＝(2,0,0)是平面PAC的一个法向量，所以cos〈，n〉＝＝，从而sin〈，n〉＝.所以平面PAC与平面PCD夹角的正弦值为.(3)易得＝(2，－1,0)．设AE＝h，h∈[0,2]，则E(0,0，h)，所以＝.所以cos〈，〉＝＝＝，解得h＝，即AE＝.