高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.1 直线的倾斜角与斜率精练

课时跟踪检测（九）倾斜角与斜率

1．[多选]给出下列说法，其中正确的是(　　)

A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°

B．若k是直线的斜率，则k∈R

C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率

D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角

解析：选ABC　显然A、B、C正确，D错误．

2．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(　　)

A．45°，1　　　　　　　 B．135°，－1

C．90°，不存在  D．180°，不存在

解析：选C　由于A，B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.

3．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　 )

A．60°  B．30°

C．60°或120°  D．30°或150°

解析：选C　 由题意知|tan α|＝，

即tan α＝或tan α＝－，

∴直线l的倾斜角为60°或120°.

4．斜率为2的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)，则a，b的值为(　　 )

A．a＝4，b＝0  B．a＝－4，b＝－3

C．a＝4，b＝－3  D．a＝－4，b＝3

解析：选C　由题意，得即

解得a＝4，b＝－3.

5.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3, 则有(　　 )

A．k1<k2<k3

B．k2<k3<k1

C．k1<k3<k2

D．k2<k1<k3

解析：选C　由题干图可知，直线l1的斜率为负，最小；直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，且都小于90°，所以直线l2的斜率大于直线l3的斜率．

6．经过A(1,3)，B(－4,13)两点的直线的方向向量为(2，k)，则k的值为________．

解析：易得＝，解得k＝－4.

答案：－4

7．直线l经过点(－1,0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________．

解析：如图所示．

∵直线l的倾斜角为150°，

∴绕(－1,0)点逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°， 斜率k＝tan 30°＝.

答案： 30°　　

8．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．

解析：∵k＝且直线的倾斜角为钝角，∴<0，解得－2<a<1.

答案：(－2,1)

9．已知直线l的斜率为k＝1－m2(m∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围．

解：因为k＝1－m2≤1，

所以当k∈[0,1]时，倾斜角α∈；

当k∈(－∞，0)时，倾斜角α∈，

故倾斜角的取值范围是∪.

10．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．

证明：∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，

∴kAB＝＝2，kAC＝＝2.

∴kAB＝kAC.

∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，

∴直线AB与直线AC为同一直线．

故A，B，C三点共线．

1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　 )

A．α  B．180°－α

C．180°－α或90°－α  D．90°＋α或90°－α

解析：选D　当l方向向上的部分在y轴左侧时，如图①所示，倾斜角为90°＋α；当l方向向上的部分在y轴右侧时，如图②所示，倾斜角为90°－α.故选D.

2．若直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是(　　 )

A．[0,2]  B．[0,1]

C．   D．

解析：选A　如图所示，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．

3．若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是________．

解析：设P(a，b)为l上任一点，经过平移后，点P到达点Q(a－3，b＋1)，此时直线PQ与l重合，

故l的斜率k＝kPQ＝＝－.

答案：－

4.如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．

解：因为OD ∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝；DC∥OB，所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0；由菱形的性质知，∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan 30°＝，直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan 120°＝－.

5．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．

解：如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．

由于的几何意义是直线OP的斜率，

且kOA＝2，kOB＝，

所以的最大值为2，最小值为.