高中数学2.5 直线与圆、圆与圆的位置同步测试题

课时跟踪检测（二十）  圆与圆的位置关系

1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　 )

A．内切　　　　　　　　 B．相交

C．外切  D．外离

解析：选B　将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可知圆心距d＝，由于2<d<4，所以两圆相交．

2．[多选]设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是(　　 )

A．内切  B．相交

C．外切  D．外离

解析：选CD　两圆的圆心距为d＝＝，两圆的半径之和为r＋4，因为＜r＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选C、D.

3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为(　　 )

A．x＋y－1＝0  B．2x－y＋1＝0

C．x－2y＋1＝0  D．x－y＋1＝0

解析：选A　法一：线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l，由圆心C1(1,0)，C2(－1,2)，得l方程为x＋y－1＝0.

法二：直线AB的方程为4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，故选A.

4．若⊙A，⊙B，⊙C两两外切，半径分别为2,3,10，则△ABC的形状是(　　 )

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．等腰三角形

解析：选B　因为△ABC的三边长分别为5,12,13,52＋122＝132，所以△ABC为直角三角形．

5．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是(　　 )

A．(－∞，1)  B．(121，＋∞)

C．[1,121]  D．(1,121)

解析：选C　因为x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，所以两圆的圆心距d＝＝5，

若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，

所以1≤m≤121.

6．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为__________．

解析：因为半径长为6的圆与x轴相切，且与已知圆内切，设圆心坐标为(a, b)，则b＝6.

再由 ＝5，解得a＝±4，

故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.

答案：(x±4)2＋(y－6)2＝36

7．已知点A，B分别在两圆x2＋(y－1)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝9上，则A，B两点之间的最短距离为________．

解析：两圆心之间的距离为＝2>4＝r1＋r2，所以两圆外离，

所以A，B两点之间的最短距离为2－4.

答案：2－4

8．若两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，且两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．

解析：由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，

且kAB＝＝－1，即m＝5.

又点在该直线上，

所以－1＋c＝0，所以c＝－2，所以m＋c＝3.

答案：3

9．求过点A(4，－1)且与圆C：(x＋1)2＋(y－3)2＝5相切于点B(1, 2)的圆的方程．

解：设所求圆的圆心M(a，b)，半径为r.

已知圆的圆心为C(－1,3)，

因为切点B在连心线上，

即C，B，M三点共线，

所以＝，

即a＋2b－5＝0.        ①

由于AB的垂直平分线为x－y－2＝0，

圆心M在AB的垂直平分线上，所以a－b－2＝0.       ②

联立①②解得

故圆心坐标为M(3,1)，r＝|MB|＝，

所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.

10．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程．

解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.

∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，

∴两圆连心线所在直线的方程为＝，

即x＋y＋2＝0.

由得所求圆的圆心为(－1，－1)．

又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离

d＝＝，

∴所求圆的半径r＝＝1，

∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.

1．圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝4的公共弦所对的圆心角是(　　 )

A．60°  B．45°

C．120°  D．90°

解析：选D　圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为M(2,0)，半径为r＝2；圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为N(0, 2)，半径为r＝2，

故圆心距|MN|＝＝2，弦心距d＝，

设公共弦所对的圆心角是2θ，

则cos θ＝＝，所以θ＝45°，所以2θ＝90°.

2．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　 )

A．5－4   B．－1

C．6－2   D．

解析：选A　由题意知，圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心分别为C1(2,3)，C2(3,4)，且|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4，点C1(2,3)关于x轴的对称点为C(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|＝|PC|＋|PC2|≥|CC2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.

3．若两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝________.　

解析：设一个交点为P(x0，y0)，则x＋y＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，所以r2＝41－8x0＋6y0，因为两切线互相垂直，所以·＝－1，所以3y0－4x0＝－16. 所以r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，所以r＝3.

答案：3

4．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．

(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；

(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．

解：(1)因为两圆外切，

所以|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，

故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.

(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r.

因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程为

4x＋4y＋r－8＝0.

作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝，

|O1H|＝＝＝.

又圆心(0，－1)到直线AB的距离为＝，

得r＝4或r＝20，

故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.

5．已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．

(1)若动圆C过点(－5,0)，求圆C的方程．

(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

解：(1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.

又因为动圆过点(－5,0)，所以(－5－a)2＋(0－b)2＝25.

解方程组

可得或

故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.

(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d＝＝5.

当r满足r＋5<d时，动圆C中不存在与圆

O：x2＋y2＝r2相外切的圆；

当r满足r＋5>d时，r每取一个数值，

动圆C中存在两个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切；

当r满足r＋5＝d时，即r＝5－5时，

动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切．

故当动圆C中与圆O相外切的圆仅有一个时，r＝5－5.