高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课后练习题

课时跟踪检测（十二）   直线的两点式方程

1．若直线l的横截距与纵截距都是负数，则(　　 )

A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限

B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限

C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限

D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限

解析：选B　依题意知，直线l的截距式方程为＋＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.

2．经过点(0，－2)，且在两坐标轴上的截距和为2的直线方程是(　　 )

A．＋＝1　　　　　　 B．＋＝1

C．＋＝1   D．－＝1

解析：选D　设直线在x轴上的截距设为a，由题意知直线在y轴上的截距为－2，所以－2＋a＝2，a＝4.故直线方程为－＝1.

3．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　)

A．2x＋y－8＝0  B．2x－y＋8＝0

C．2x＋y－12＝0  D．2x－y－12＝0

解析：选A　点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.

4．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　 )

解析：选A　两条直线化为截距式分别为＋＝1，＋＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．

5．过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有(　　 )

A．1条  B．2条

C．3条  D．4条

解析：选B　当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线与坐标轴的交点为(a,0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为＋＝1，把点P(4，－3)的坐标代入方程得a＝1.所以所求直线有两条．

6．在x轴和y轴上的截距分别为－2,3的直线方程是____________．

解析：由直线的截距式方程可得＋＝1.

答案：＋＝1

7．已知直线＋＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为________．

解析：由＋＝1知S＝|a|·|6|＝6，所以a＝±2.

答案：±2

8．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．

解析：AB的中点坐标为(1,3)，由直线的两点式方程可得＝，即2x－y＋1＝0.

答案：2x－y＋1＝0

9．已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，－2)，求直线l的方程．

解：法一：设直线l的截距式方程为＋＝1，

把点(6，－2)代入得－＝1，

化简整理得a2－3a＋2＝0，解得a＝2或a＝1，

故直线l的方程为＋＝1或＋y＝1.

法二：设直线l的点斜式方程为y＋2＝k(x－6)(k≠0)．

令x＝0，得y＝－6k－2；令y＝0，得x＝＋6.

于是－(－6k－2)＝1，

解得k1＝－或k2＝－.

故直线l的方程为y＋2＝－(x－6)或y＋2＝－(x－6)，即y＝－x＋2或y＝－x＋1.

10．三角形的顶点坐标为A(0，－5)，B(－3,3)，C(2,0)，求直线AB和直线AC的方程．

解：∵直线AB过点A(0，－5)，B(－3,3)两点，

由两点式方程，得＝.

整理，得8x＋3y＋15＝0.

∴直线AB的方程为8x＋3y＋15＝0.

又∵直线AC过A(0，－5)，C(2,0)两点，

由截距式得＋＝1，

整理得5x－2y－10＝0，

∴直线AC的方程为5x－2y－10＝0.

1．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线y＝2x和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则直线AB的方程为(　　 )

A．y＝－x＋5  B．y＝x－5

C．y＝x＋5  D．y＝－x－5

解析：选C　依题意，a＝2，P(0,5)．设A(x0,2x0)，B(－2y0，y0)，则由中点坐标公式，得解得所以A(4,8)，B(－4,2). 由直线的两点式方程，得直线AB的方程是＝，即y＝x＋5.

2．若直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　 )

A．

B．∪(1，＋∞)

C．∪

D．∪

解析：选D　设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝，所以满足条件的直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪.

3．若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________．

解析：由直线经过点(1,2)得＋＝1.于是a＋b＝(a＋b)×＝3＋＋，因为＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝1＋，b＝2＋时取等号，所以a＋b≥3＋2.

答案：3＋2

4．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．

(1)求点C的坐标；

(2)求直线MN的方程．

解：(1)设点C(m，n)，AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，

由中点坐标公式得

解得

∴点C的坐标为(1，－3)．

(2)由(1)可得M，N，

由直线方程的截距式，得直线MN的方程是

＋＝1，即y＝x－.

5．一条光线从点A(3,2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．

解：如图所示，作A点关于x轴的对称点A′，显然，A′坐标为(3，－2)，连接A′B，则A′B所在直线即为反射光线．

由两点式可得直线A′B的方程为＝，

即2x＋y－4＝0.

同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，连接AB′，则AB′所在直线即为入射光线．

由两点式可得直线AB′的方程为＝，

即2x－y－4＝0，

∴入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0，

反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0.