人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式测试题

课时跟踪检测（十五）  点到直线的距离公式  两条平行直线间的距离

1．若点P(a,0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为(　　 )

A．(7，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，－3)

C．(－∞，－3)∪(7，＋∞)  D．(－3,7)∪(7，＋∞)

解析：选C　根据题意，得>3，解得a>7或a<－3.

2．[多选]已知点P为x轴上一点，点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　 )

A．(－8,0)  B．(－12,0)

C．(8,0)  D．(0,0)

解析：选BC　设P(x0,0)，因为d＝＝6，所以|3x0＋6|＝30，解得x0＝8或x0＝－12.

3．已知点P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线x－y＝0的距离是(　　 )

A．(a－b)  B．b－a

C．(b－a)   D．

解析：选C　∵P(a，b)是第二象限点，

∴a<0，b>0，∴a－b<0.

∴点P到直线x－y＝0的距离d＝＝(b－a)．

4．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是(　　)

A．   B．

C．4  D．2

解析：选B　∵l1∥l2，∴解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1，l2间的距离是＝.

5．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(　　 )

A．3  B．2

C．3  D．4

解析：选A　由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，

∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3.

6．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．

解析：两直线方程分别是x＝－2和x＝3，故两条直线间的距离d＝|－2－3|＝5.

答案：5

7．已知在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上．若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________．

解析：由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.设C(x,3x＋3)，

由两点式得直线AB的方程为＝，

即3x＋4y－17＝0.

利用点到直线的距离公式d＝＝4，解得x＝－1或x＝.

答案：或

8．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．

解析：直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝＝3，

∴|PQ|min＝3.

答案：3

9.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．

解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，

则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，

∴|AD|＝，|BC|＝b.

梯形的高h就是A点到直线l2的距离，

故h＝＝＝(b>1)，

由梯形面积公式得×＝4，

∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.

从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.

10．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，l1到l2的距离为5，求l1，l2的方程．

解：①若l1，l2的斜率存在，设直线的斜率为k，

由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，

即kx－y＋1＝0.

由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，

即kx－y－5k＝0.

则直线l1到l2的距离d＝＝5，

所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25，解得k＝.

所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.

②若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．

综上，满足条件的直线方程有两组：

或

1．若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　 )

A．1   B．

C．  D．2

解析：选B　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，得|AB|＝＝.

2．[多选]定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，则下列命题中正确的是(　　)

A．若d1＝d2，则直线P1P2与直线l平行

B．若d1＝－d2，则直线P1P2与直线l垂直

C．若d1·d2>0，则直线P1P2与直线l平行或相交

D．若d1·d2<0，则直线P1P2与直线l相交

解析：选CD　若d1＝d2＝0，则P1∈l，P2∈l，故A不正确；若d1＝－d2，则P1与P2在直线l两旁. 故P1P2与l相交，不一定垂直，故B不正确；若d1·d2>0，则P1与P2在l同旁，则P1P2∥l或P1P2与l相交，故C正确；若d1·d2<0，则P1与P2在l两旁，则P1P2与l相交，故D正确．

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是________．

解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得·＝1.又xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－，bx－ysin B＋sin C＝0的斜率k2＝，因此k1·k2＝·＝－1，所以两条直线垂直．

答案：垂直

4．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．

解：因为l1∥l2，所以＝≠，

所以或

①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，

把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，

所以＝，解得n＝－22或n＝18.

所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.

②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，

把l2的方程写成4x－8y－2＝0，

所以＝，

解得n＝－18或n＝22.

所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.

5．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．　

解：设点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝.

因为lAB∥lCD，所以可设lAB：x＋3y＋m＝0.

点P(1,5)到lAB的距离也等于d，则＝.

又因为m≠－13，所以m＝－19，

即lAB：x＋3y－19＝0.

因为lAD⊥lCD，

所以可设lAD：3x－y＋n＝0，

则点P(1,5)到lAD的距离等于点P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝，＝，解得n＝5或n＝－1，

则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.

所以正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.

6．已知三角形的三个顶点分别是A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求角A的平分线的方程．

解：设P(x，y)为角A的平分线上任一点，

则点P到直线AB与到直线AC的距离相等，

因为直线AB，AC的方程分别是4x－3y－13＝0和3x＋4y－16＝0，

所以由点到直线的距离公式，

有＝，

即|4x－3y－13|＝|3x＋4y－16|，

即4x－3y－13＝±(3x＋4y－16)，

整理得x－7y＋3＝0或7x＋y－29＝0.

易知x－7y＋3＝0是角A的外角平分线的方程，7x＋y－29＝0是角A的平分线的方程．