人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置当堂检测题

课时跟踪检测（十六）  圆的标准方程

1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是(　　 )

A．π　　　　　　　 B．2π

C．2π  D．2π

解析：选B　由圆的标准方程可知，其半径为，周长为2π.

2．方程(x－1) ＝0所表示的曲线是(　　 )

A．一个圆  B．两个点

C．一个点和一个圆  D．一条直线和一个圆

解析：选D　(x－1)＝0可化为x－1＝0或x2＋y2＝3，因此该方程表示一条直线和一个圆．

3．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为(　　 )

A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13

B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13

C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52

D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52

解析：选B　结合圆的性质可知，原点在圆上，

圆的半径r＝＝.

故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.

4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5

B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5

D．(x－1)2＋(y－2)2＝5

解析：选C　直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.

由得

∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.

5．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为(　　 )

A．(x－)2＋y2＝5

B．(x＋)2＋y2＝5

C．(x－5)2＋y2＝5

D．(x＋5)2＋y2＝5

解析：选D　设圆心坐标为(a,0)，

由题意知＝，∴|a|＝5.

∵圆C位于y轴左侧，∴a＝－5，

∴圆C的标准方程为(x＋5)2＋y2＝5.

6．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________．

解析：由可得x＝2，y＝4，

即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，

故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.

答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20

7．圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.

解析：因为圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，所以圆心坐标为C(1,2)．所以圆心到直线的距离d＝＝3.

答案：3

8．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是________．

解析：因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1＜a＜1.

答案：(－1,1)

9．已知圆C的半径为，圆心在直线x－y－2＝0上，且过点(－2,1)，求圆C的标准方程.

解：∵圆心在直线x－y－2＝0上，r＝，

∴设圆心为(t，t－2)．

∴圆C的标准方程为(x－t)2＋(y－t＋2)2＝17.

∵圆C过点(－2,1)，∴(－2－t)2＋(1－t＋2)2＝17.

解得t＝2或t＝－1.

∴圆心C的坐标是(2,0)或(－1，－3)．

∴所求圆C的标准方程是(x－2)2＋y2＝17或(x＋1)2＋(y＋3)2＝17.

10．已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的标准方程．

解：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值．

因为|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5，

所以|PA|<|PB|<|PC|，

所以圆的半径r＝|PB|＝.

故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.

1．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程是(　　 )

A．x2＋(y＋1)2＝1

B．x2＋y2＝1

C．(x＋1)2＋y2＝1

D．x2＋(y－1)2＝1

解析：选A　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，

设点(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(a，b)，

则有解得所以所求圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1.

2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(　　 )

A．2  B．1

C．   D．

解析：选B　x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－＝1.

3．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________．

解析：由题意可得，圆C的圆心坐标为(2,4－m)，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d＝ －1的最小值，当m＝4时，d最小，dmin＝1.

答案：1

4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圆C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9，若圆心在x轴上的圆C同时经过圆C1和圆C2的圆心，则圆C的方程是________．

解析：由圆的性质可知，线段C1C2的垂直平分线过圆心，线段C1C2的中点坐标为，即(5,1)，直线C1C2的斜率k＝＝－7，所以线段C1C2的垂直平分线方程为y－1＝(x－5)，令y＝0得x＝－2，即圆心C的坐标为(－2,0)，其半径r＝＝10，所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝100.

答案：(x＋2)2＋y2＝100

5．已知圆C的圆心为C(x0，x0)，且过定点P(4,2)．

(1)求圆C的标准方程．

(2)当x0为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．

解：(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝r2(r≠0)．

∵圆C过定点P(4,2)，

∴(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0)．

∴r2＝2x－12x0＋20.

∴圆C的标准方程为

(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x－12x0＋20.

(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2

＝2x－12x0＋20

＝2(x0－3)2＋2，

∴当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．

此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.

6．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．

(1)求AD边所在直线的方程；

(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．

解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.

又点T(－1,1)在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，

即3x＋y＋2＝0.

(2)由解得点A的坐标为(0，－2)，

因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)，

所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．

又r＝|AM|＝＝2，

所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.