高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线精练

课时跟踪检测（二十六）  抛物线及其标准方程

1．若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n＝(　　)

A．　　　　　　　　　 B．

C．3  D．4

解析：选D　抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，根据抛物线定义可知5＝n＋1，即n＝4.

2．若坐标原点到抛物线y＝mx2的准线的距离为2，则m＝(　　)

A．±  B．±

C．±4  D．±8

解析：选A　抛物线y＝mx2的准线方程为y＝－，由题意知＝2，解得m＝±.

3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)

A．2  B．3

C．4  D．8

解析：选D　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)．

由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.

4．已知动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－1|，则点P的轨迹为(　　)

A．直线  B．抛物线

C．双曲线  D．椭圆

解析：选B　把5＝|3x＋4y－1|化为＝，由于点(1,2)不在直线3x＋4y－1＝0上，满足抛物线的定义，则点P的轨迹为抛物线．

5.如图是抛物线形拱桥，当水面在AB时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，当水位上升0.5 m后，水面宽(　　)

A． m  B． m

C．2 m  D．2 m

解析：选C　如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将A(－2，－2)代入x2＝my，得m＝－2，可得抛物线方程为x2＝－2y，将B代入，得x0＝±，故水面宽度为2 m.

6．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.

解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.

答案：

7．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，Μ是C上一点，FM的延长线交y轴于点N. 若M为FN的中点，则|FN|＝________.

解析：设N (0，a)，F(2,0)，则M，因为点M在抛物线上，所以＝8，解得a＝±4，所以N(0，±4)，故|FN|＝＝6.

答案：6

8．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．

解析：抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4.

答案：4

9.如图是抛物线型拱桥，设水面宽|AB|＝18 m，拱顶距离水面8 m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|＝9 m，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？

解：如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(9，－8)．

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．

∵B点在抛物线上，

∴81＝－2p·(－8)，∴p＝，

∴抛物线的方程为x2＝－y.

当x＝时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6.

∴|DE|不超过6 m才能使货船通过拱桥．

10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程．

解：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，所以根据抛物线的定义可知，3＋＝5，

所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x.

(2)由(1)可知F(2,0)，设P(x0，y0)，M(x，y)，

则即

而点P(x0，y0)在抛物线C上，所以y＝8x0，

所以(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)，

所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1)．

1．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2x的焦点，P(x0，y0)为C上一点，若|PF|＝x0，则△POF的面积为(　　)

A．1   B．

C．   D．

解析：选D　由题意知，F的坐标为，因为点P(x0，y0)为C上一点，|PF|＝x0，则＋x0＝x0，解得x0＝1，所以P(1，±)，则△POF的面积为：××＝.

2.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(　　)

A．直线  B．圆

C．椭圆  D．抛物线

解析：选D　∵ABCD­A1B1C1D1是正方体，∴直线C1D1⊥侧面BB1C1C，∴C1D1⊥PC1，则|PC1|为点P到直线C1D1的距离．又点P到直线C1D1的距离等于点P到直线BC的距离，即点P到点C1的距离等于点P到直线BC的距离，∴动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．

3.已知△FAB，点F的坐标为(1,0)，点A，B分别在图中抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围是(　　)

A．(2,6)  B．(4,6)

C．(2,4)  D．(6,8)

解析：选B　抛物线的准线l：x＝－1，焦点F(1,0)，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋1，所以△FAB的周长＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋1＋(xB－xA)＋2＝3＋xB，由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝4可得交点的横坐标为1，所以xB∈(1,3)，所以3＋xB∈(4,6)．

4．对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．

其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)

解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．

答案：②④

5．在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．求曲线C1的方程．

解：法一：设点M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.

易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，

于是x＋2＞0，所以 ＝x＋5.

化简得曲线C1的方程为y2＝20x.

法二：由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离”．所以曲线C1是以点(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，所以曲线C1的方程为y2＝20x.

6.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.

(1)求抛物线的方程；

(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

解：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，

于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.

(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．又F(1,0)，

所以kAF＝，则直线FA的方程为y＝(x－1)．

因为MN⊥FA，所以kMN＝－，

则直线MN的方程为y＝－x＋2.

解方程组得所以N.