2022秋新教材高中数学全册综合检测新人教A版选择性必修第一册

全册综合检测

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若直线l：x－2y＋k＝0(k∈R)过点(0,2)，则k的值为(　　)

A．－4　　　　　　　　　 B．4

C．2  D．－2

解析：选B　由题意可得，0－4＋k＝0，解得k＝4.

2．已知空间向量a＝(λ＋1,1，λ)，b＝(6，μ－1,4)，若a∥b，则λ＋μ＝(　　)

A．3  B．－3

C．5  D．－5

解析：选C　因为a∥b，所以＝＝，所以4λ＋4＝6λ，解得λ＝2，所以＝，解得μ＝3，所以λ＋μ＝5.故选C.

3.如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，则＝(　　)

A.a－b－c

B．－a＋b＋c

C.a－b＋c

D．－a＋b＋c

解析：选D　＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－＝－＋＋＝－a＋b＋c，故选D.

4．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为(　　)

A．8  B．2

C．4  D．4

解析：选C　因为椭圆的2a＝8,2b＝4，所以a＝4，b＝2，因为a2＝b2＋c2，所以c2＝12⇒c＝2，则2c＝4.故选C.

5．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)

A．－2  B．－4

C．－6  D．－8

解析：选B　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，r2＝2－a，则圆心(－1,1)到直线x＋y＋2＝0的距离为＝.由22＋()2＝2－a，得a＝－4.

6．已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD＝5，则这个二面角的度数为(　　)

A．30°  B．45°

C．90°  D．150°

解析：选C　设这个二面角的度数为α，由题意得＝＋＋，

∴2＝2＋2＋2＋2||·||cos(π－α)，∴(5)2＝9＋25＋16－2×3×4×cos α，解得cos α＝0，∴α＝90°，即这个二面角的度数为90°，故选C.

7．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则直线l过定点(　　)

A．(－3,0)  B．(0，－3)

C．(3,0)  D．(0,3)

解析：选A　设直线l的方程为x＝my＋b，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

因为k1k2＝，所以·＝.

又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.

将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得

y2－2my－2b＝0，

所以y1y2＝－2b＝6，所以b＝－3，

即直线l：x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．

8．设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　由题意知，F1(－2,0)，F2(2,0)，

解方程组得

取P点坐标为，

则＝，2＝，

cos∠F1PF2

＝＝.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．下列各组向量中，是平行向量的是(　　)

A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)

B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)

C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)

D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)

解析：选ABC　对于A，有b＝－2a，所以a与b是平行向量；

对于B，有d＝－3c，所以c与d是平行向量；

对于C，f是零向量，与e是平行向量；

对于D，不满足g＝λh，所以g与h不是平行向量．

10．已知点A(－1,1)，B(3,1)，直线l过点C(1,3)且与线段AB相交，则直线l与圆(x－6)2＋y2＝2的位置关系是(　　)

A．相交  B．相离

C．相切  D．不好确定

解析：选BC　因为kAC＝1，kBC＝－1，直线l的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC方程为x＋y－4＝0，圆(x－6)2＋y2＝2的圆心(6,0)到直线BC的距离为，因此圆(x－6)2＋y2＝2与直线BC相切，结合图象可知，直线l与圆(x－6)2＋y2＝2的位置关系是相切或相离．

11．已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)

A．C的方程为－y2＝1

B．C的离心率为

C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点

D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点

解析：选AC　∵双曲线的渐近线为y＝±x，∴设双曲线C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，又过点(3，)得λ＝1.故选项A正确；此时C的离心率e为，故B选项错误；y＝ex－2－1经过C的焦点(2,0)，故选项C正确；联立直线和双曲线C的方程，得Δ＝0，故有一个公共点，所以D选项错误．

12．已知过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若R为线段PQ的中点，连接OR并延长交抛物线C于点S，则的可能取值是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选CD　由题意知，y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)．直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为y＝k(x－2)．由消去y整理得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，S(x3，y3)，则x1＋x2＝，故x0＝＝，y0＝k(x0－2)＝，所以kos＝＝，直线OS的方程为y＝x，代入抛物线方程，解得x3＝，由条件知k2>0.所以＝＝k2＋2>2. 故选C、D.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13．已知圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝10与直线l：2x＋y＝0，则圆C与直线l的位置关系是________．

解析：由题意有圆心C(2,1)，半径r＝，则圆心到直线l：2x＋y＝0的距离d＝＝＝<r＝，故直线与圆C相交．

答案：相交

14.已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1＝_____.

解析：∵AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，

∴·＝·＝·＝，∵＝＋＋，

∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝6，∴||＝.

答案：

15．已知A(2，)是椭圆＋＝1上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线x＝4的距离为d，则m＝______，＝______.

解析：A(2，)是椭圆＋＝1上一点，代入可得＋＝1，解得m＝8，∴c＝＝2，F(2,0)．

∴|AF|＝＝，点F到直线x＝4的距离为d＝2，∴＝.

答案：8　

16．已知F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E的离心率是_____________．

解析：双曲线E：－＝1的渐近线方程为y＝±x，若|OF|＝|FB|，可得在直角三角形OAB中，由∠AOF＝∠BOF＝∠ABO＝30°，可得＝tan 30°＝，∴＝＝1＋＝1＋＝，∴e＝.

答案：

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，分别求下列直线l′的方程，l′满足：　

(1)过点(－1,3)，且与l平行．

(2)与直线l关于y轴对称．

解：(1)因为l∥l′，所以l′的斜率为－，所以直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.

(2)l与y轴交于点(0,3)，该点也在直线l′上，在直线l上取一点A(4,0)，则点A关于y轴的对称点A′(－4,0)在直线l′上，所以直线l′经过(0,3)和(－4,0)两点，故直线l′的方程为3x－4y＋12＝0.

18．(12分)直线l经过两点(2,1)，(6,3)．

(1)求直线l的方程；

(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程．

解：(1)由已知可得，直线l的斜率k＝＝，

所以直线l的方程为x－2y＝0.

(2)因为圆C的圆心在直线l上，

所以可设圆心坐标为(2a，a)，

因为圆C与x轴相切于(2,0)点，

所以圆心在直线x＝2上，所以a＝1，

所以圆心坐标为(2,1)，半径为1，

所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

19.(12分)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E为BB1中点．

(1)证明：AC⊥D1E；

(2)求DE与平面AD1E所成角的正弦值．

解：(1)证明：连接BD，

∵D1D⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴D1D⊥AC.

在长方形ABCD中，AB＝BC，∴BD⊥AC.

又BD∩D1D＝D，∴AC⊥平面BB1D1D，

∵D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E.

(2)以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，

则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，＝(0,1,1)，＝(－1,0,2)，＝(1,1,1)．

设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝1，得n＝(2，－1,1)．

∴cos〈n，〉＝＝，

∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为.

20．(12分)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线y＝kx＋m(m>0)与抛物线C交于不同的两点M，N.

(1)若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求m的值；

(2)若m＝2，求|MF|·|NF|的最小值．

解：(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，对y＝求导得：

y′＝，

故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为和，

又切线互相垂直，

∴·＝－1，即x1·x2＝－4，

把y＝kx＋m代入C的方程得x2－4kx－4m＝0.

∴x1x2＝－4m.

故m＝1.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由抛物线定义可知

|MF|＝y1＋1，|NF|＝y2＋1，

由(1)和m＝2，知x1x2＝－8，x1＋x2＝4k，

所以|MF|·|NF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝(kx1＋3)·(kx2＋3)＝k2x1x2＋3k(x1＋x2)＋9＝4k2＋9，

所以当k＝0时， |MF|·|NF|取得最小值，且最小值为9.

21．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥PD，AD∥BC，AD＝CD＝1，BC＝2，二面角P­CD­A为45°，E为PD的中点，点F在PC上，且＝3.

(1)求证：四边形ABCD为直角梯形；

(2)求二面角F­AE­D的余弦值．

解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.

又因为PD⊥CD，PA∩PD＝P，

所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AD.

因为AD∥BC，且AD≠BC，

所以四边形ABCD为直角梯形．

(2)过点A作AD的垂线交BC于点M，则PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点，分别以AM，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1，－1,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，

由(1)知CD⊥AD，又CD⊥PD，

则∠PDA为二面角P­CD­A的平面角，

所以∠PDA＝45°，PA＝1，

所以P(0,0,1)，E，

所以＝，＝(1,1，－1)，＝(0,0,1)，

所以＝＝，＝＋＝，

设平面AEF的一个法向量为n1＝(x，y，z)，

则即

令z＝1，则y＝－1，x＝－1，所以n1＝(－1，－1,1)，

又平面PAD的一个法向量为n2＝(1,0,0)，

所以cos〈n1，n2〉＝＝＝－，

由图知二面角F­AE­D为钝角，

所以二面角F­AE­D的余弦值为－.

22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的长轴长是短轴长的2倍．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得＝＋，求m的取值范围．

解：(1)由题意可得F1(0，c)，则＋＝1，

解得x＝±，

∴△MNF2的面积S＝××2c＝＝.①

∵椭圆C的长轴长是短轴长的2倍，

∴a＝2b.②

又∵a2＝b2＋c2，③

联立①②③解得a＝2，b＝1，

∴椭圆C的标准方程x2＋＝1.

(2)当m＝0时，则P(0,0)，

由椭圆的对称性得＝，即＋＝0，

∴m＝0时，存在实数λ，使得＝＋.

当m≠0时，得＝＋，

∵A，B，P三点共线，

∴1＋λ＝4⇒λ＝3⇒＝3.

设A(x1，y1), B(x2，y2)，

由得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0，

由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，

即k2－m2＋4>0，

且x1＋x2＝，x1x2＝.

由＝3，得x1＝－3x2，

即3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，

∴＋＝0⇒m2k2＋m2－k2－4＝0,

显然m2＝1不成立，∴k2＝.

∵k2－m2＋4>0，∴－m2＋4>0，

即>0.

解得－2<m<－1或1<m<2.

综上所述，m的取值范围为(－2，－1)∪(1,2)∪{0}．